Spazio Normato di Banach, Completezza
Sono alle prese con lo studio degli spazi normati e sto studiando in particolare la definizione di spazio normato completo e non riesco ad afferrare alcuni concetti.
Ho una serie di "frasi" scritte sugli appunti che vengono buttate lì senza troppe spiegazioni come se fossero scontate; per me non lo sono affatto:
Esiste la possibilità di mostrarmi degli esempi "grafici" per chiarire questi aspetti? Credo sia l'unico modo tramite il quale lo capirei. Non riesco ad aiutarmi con nessuno strumento. Chi può chiarirmi le idee?
Ho una serie di "frasi" scritte sugli appunti che vengono buttate lì senza troppe spiegazioni come se fossero scontate; per me non lo sono affatto:
Se in uno spazio normato tutte le successioni di Cauchy sono convergenti si dice che lo spazio normato è completo o di Banach.
Lo spazio \(\displaystyle (\mathbb{R},|\centerdot|)\) è completo e ciò è conseguenza dell'assioma di completezza. Da questo segue che ogni spazio vettoriale di dimensione finita è completo.
Esiste la possibilità di mostrarmi degli esempi "grafici" per chiarire questi aspetti? Credo sia l'unico modo tramite il quale lo capirei. Non riesco ad aiutarmi con nessuno strumento. Chi può chiarirmi le idee?
Risposte
La prima frase è la definizione di un modo di dire, cioè un fatto puramente terminologico, quindi la devi prendere così com'è.
Al massimo puoi riformulare la frase in altre parole... Ad esempio: la locuzione \(X \text{ è uno spazio di Banach}\) è un modo sintetico per dire che:
\[
\begin{align} X &\text{ è uno spazio vettoriale;} \\
\text{su } X &\text{ è definita una norma;}\\
X &\text{ è uno spazio metrico completo, se equipaggiato con la metrica indotta dalla norma.}
\end{align}
\]
La seconda frase non è altro che l'esempio più banale possibile di spazio di Banach.
Infatti, è arcinoto che in \(\mathbb{R}^N\), dotato della norma euclidea \(|\cdot |\) e della metrica da essa indotta, sono convergenti tutte e sole le successioni di Cauchy: pertanto \((\mathbb{R}^N, |\cdot |)\) è uno spazio di Banach.
Ciò si può generalizzare: se prendi un qualsiasi prodotto scalare su \(\mathbb{R}^N\), la norma da esso indotta munisce \(\mathbb{R}^N\) della struttura di spazio di Banach.
Ora, si dà il caso che ogni spazio vettoriale euclideo di dimensione \(N\) sia isomorfo (vettorialemente, topologicamente e metricamente) ad \(\mathbb{R}^N\) con la topologia indotta da qualche prodotto scalare, e che la completezza è una proprietà topologica: pertanto ogni spazio vettoriale euclideo di dimensione finita è uno spazio di Banach.
Al massimo puoi riformulare la frase in altre parole... Ad esempio: la locuzione \(X \text{ è uno spazio di Banach}\) è un modo sintetico per dire che:
\[
\begin{align} X &\text{ è uno spazio vettoriale;} \\
\text{su } X &\text{ è definita una norma;}\\
X &\text{ è uno spazio metrico completo, se equipaggiato con la metrica indotta dalla norma.}
\end{align}
\]
La seconda frase non è altro che l'esempio più banale possibile di spazio di Banach.
Infatti, è arcinoto che in \(\mathbb{R}^N\), dotato della norma euclidea \(|\cdot |\) e della metrica da essa indotta, sono convergenti tutte e sole le successioni di Cauchy: pertanto \((\mathbb{R}^N, |\cdot |)\) è uno spazio di Banach.
Ciò si può generalizzare: se prendi un qualsiasi prodotto scalare su \(\mathbb{R}^N\), la norma da esso indotta munisce \(\mathbb{R}^N\) della struttura di spazio di Banach.
Ora, si dà il caso che ogni spazio vettoriale euclideo di dimensione \(N\) sia isomorfo (vettorialemente, topologicamente e metricamente) ad \(\mathbb{R}^N\) con la topologia indotta da qualche prodotto scalare, e che la completezza è una proprietà topologica: pertanto ogni spazio vettoriale euclideo di dimensione finita è uno spazio di Banach.
Perdona la mia ignoranza ma mi mancano i concetti intuitivi per poter comprendere ogni singola parola che hai scritto. Ci son troppe cose date per scontato, forse tutte. Io ho soltanto letto queste definizioni e non riesco ad andare oltre da solo. Quando studiavo l'analisi potevo riscontrare l'evidenza di ogni formalismo con i grafici di funzione. Ora non ho più nessun riscontro e così non riesco a capire nulla. Tanta terminologia mi dà solo alla testa perché non riesco ad associarla a qualcosa di immaginabile per me.
Non è possibile parlarne in maniera estremamente informale per poi ricondurci a tutti quegli eleganti formalismi?
Spero di non aver indignato nessuno con questa risposta
Non è possibile parlarne in maniera estremamente informale per poi ricondurci a tutti quegli eleganti formalismi?
Spero di non aver indignato nessuno con questa risposta
"gugo82":
la completezza è una proprietà topologica
Ciao Gugo! Ho una obiezione su questa frase che secondo me, detta così, è falsa: per esempio gli spazi metrici \((\mathbb{R}, \lvert \cdot \rvert)\) e \((\mathbb{R}, d(x, y)=\lvert \arctan(x)-\arctan(y)\rvert)\) sono omeomorfi però il primo è completo mentre il secondo no, come ben sai. Per esempio io direi che \((1, 2, 3, 4, \ldots)\) è una successione di Cauchy rispetto a \(d\) e non è convergente.
pertanto ogni spazio vettoriale euclideo di dimensione finita è uno spazio di Banach.
Su questo invece sono d'accordo.
Allora ho capito che se prendiamo in considerazione la distanza euclidea dire che una successione di Cauchy è convergente rispetto alla distanza euclidea significa provare che all'interno di una certa fascia son contenuti tutti i suoi elementi a partire da un certo punto in poi. Ho in mente un'idea grafica di come questo possa essere possibile: è grazie a quest'idea che riesco a comprendere il formalismo e la notazione matematica.
Mi fate un esempio grafico di convergenza rispetto ad un'altra distanza che non sia quella euclidea?
Mi fate un esempio grafico di convergenza rispetto ad un'altra distanza che non sia quella euclidea?
"dissonance":
[quote="gugo82"]la completezza è una proprietà topologica
Ciao Gugo! Ho una obiezione su questa frase che secondo me, detta così, è falsa: per esempio gli spazi metrici \((\mathbb{R}, \lvert \cdot \rvert)\) e \((\mathbb{R}, d(x, y)=\lvert \arctan(x)-\arctan(y)\rvert)\) sono omeomorfi però il primo è completo mentre il secondo no, come ben sai. Per esempio io direi che \((1, 2, 3, 4, \ldots)\) è una successione di Cauchy rispetto a \(d\) e non è convergente.[/quote]
Hai ragione dissonance... Mi ero fatto prendere un po'.
La completezza è una proprietà che passa per isometrie (ad esempio, ed è questo che intendevo nel mio post precedente), ma non per omeomorfismi qualsiasi; quindi non si può dire sia una "proprietà topologica".
Grazie per la considerazione!
@lucamennoia: Il fatto è che si tratta di un discorso non molto intuitivo, l'intuizione si sviluppa studiando studiando. Infatti nel piano, nello spazio tridimensionale, e più in generale in tutti gli spazi vettoriali di dimensione finita, tutte le norme sono equivalenti e quindi tutte le relative nozioni di convergenza coincidono. La differenza tra convergenze di vario tipo si inizia ad apprezzare quando si considerano spazi di funzioni (immagino sia questo il motivo per cui si chiama analisi funzionale). Quindi è in questi termini che ti conviene ragionare.
L'esempio fondamentale è lo spazio vettoriale delle funzioni continue sull'intervallo \([0, 1]\), detto \(C([0, 1])\). Puoi dotarlo di una quantità di norme diverse: tra le più importanti ci sono la norma infinito (o del sup, o del massimo)
\[\lVert f\rVert_{\infty}=\max(\lvert f(x)\rvert\mid x \in [0, 1])\]
e la norma due (che ha anche molti altri nomi a seconda del contesto fisico o ingegneristico in cui è citata)
\[\lVert f\rVert_{2}=\sqrt{\int_0^1 \lvert f(x)\rvert^2\, dx}.\]
Il fatto sostanziale, che motiva il bisogno di sviluppare la teoria dell'analisi funzionale così a fondo, è che \(C([0, 1])\) è di Banach rispetto alla prima norma ma non lo è rispetto alla seconda. Questo è un fenomeno molto importante e ci vuole un po' per capirlo appieno.
L'esempio fondamentale è lo spazio vettoriale delle funzioni continue sull'intervallo \([0, 1]\), detto \(C([0, 1])\). Puoi dotarlo di una quantità di norme diverse: tra le più importanti ci sono la norma infinito (o del sup, o del massimo)
\[\lVert f\rVert_{\infty}=\max(\lvert f(x)\rvert\mid x \in [0, 1])\]
e la norma due (che ha anche molti altri nomi a seconda del contesto fisico o ingegneristico in cui è citata)
\[\lVert f\rVert_{2}=\sqrt{\int_0^1 \lvert f(x)\rvert^2\, dx}.\]
Il fatto sostanziale, che motiva il bisogno di sviluppare la teoria dell'analisi funzionale così a fondo, è che \(C([0, 1])\) è di Banach rispetto alla prima norma ma non lo è rispetto alla seconda. Questo è un fenomeno molto importante e ci vuole un po' per capirlo appieno.
Di solito non è mia abitudine proseguire nello studio se non ho capito al 100% ciò che ho letto prima, ma stavolta farò un'eccezione e andrò avanti sperando di re-incontrare molte volte questo concetto. Grazie mille! 
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