Spazio metrico uniforme

[Angus1956]

Siano $f_n:A->Y$ con $ninNN$ e $(Y, ||.||_Y)$ uno spazio normato completo, tale che $f_ninF_b(A)={||f||_\infty<+\infty$}. Mostrare che $(F_b(A),||.||_\infty)$ è completo.
Sia $f_n$ successione di Cauchy in $F_b(A)$, si ha che $AAepsilon>=0$ $EE\bar n(epsilon)inNN$ tale che $AAn,k>\bar n$ si ha $||f_n-f_k||_\inftyY$ tale che $f_n(x)->f(x)$ $AAx inA$ allora $f_n$ converge puntualmente a $f$. Potrebbe andare così?

[otta96]

Non basta, devi dimostrare che $f\inF_b(A)$ e che la convergenza è in norma.

[Angus1956]

"otta96":Non basta, devi dimostrare che $f\inF_b(A)$ e che la convergenza è in norma.

Per $finF_b(A)$, se prendo $x inA$ sappiamo che $f_n(x)->f(x)$, siccome $f_n$ limitata allora $||f(x)||_Y$ è finito. Per cui $f(x)$ assume valori finiti e quindi l'estremo superiore è finito (dato che coinciderà con il massimo valore assunto da $f$).
Poi siccome per ogni $x in A$ si ha che $f_n(x)->f(x)$ per un certo $n$ (e i suoi valori successivi) vale $||f_n(x)-f(x)||_Y

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[otta96]

"andreadel1988":siccome $f_n$ limitata allora $||f(x)||_Y$ è finito.

No, $||f(x)||_Y$ è finito perchè appartiene a $Y$.

Per cui $f(x)$ assume valori finiti e quindi l'estremo superiore è finito (dato che coinciderà con il massimo valore assunto da $f$).

Non è detto che abbia un massimo e il motivo per cui $f$ assume solo valori finiti è semplicemente perchè è il limite puntuale di $f_n$.

vale $||f_n(x)-f(x)||_Y
Questo passaggio non è motivato.

[Angus1956]

"otta96":[quote="andreadel1988"]siccome $f_n$ limitata allora $||f(x)||_Y$ è finito.

No, $||f(x)||_Y$ è finito perchè appartiene a $Y$.

Per cui $f(x)$ assume valori finiti e quindi l'estremo superiore è finito (dato che coinciderà con il massimo valore assunto da $f$).

Non è detto che abbia un massimo e il motivo per cui $f$ assume solo valori finiti è semplicemente perchè è il limite puntuale di $f_n$.
[/quote]
In teoria non è quello che ho detto? Appunto per il fatto che $f_n(x)$ è limitata e $f_n(x)->f(x)$?

"otta96":

vale $||f_n(x)-f(x)||_Y
Questo passaggio non è motivato.

In teoria $epsilon$ è maggiorante di $||f_n(x)-f(x)||_Y$ e per definizione di estremo superiore (minimo dei maggioranti) si ha che $su p_(x inA)||f_n(x)-f(x)||_Y

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[otta96]

"andreadel1988":In teoria non è quello che ho detto? Appunto per il fatto che $f_n(x)$ è limitata e $f_n(x)->f(x)$?

Non è proprio la stessa cosa, devi dimostrare che anche $f$ è limitata, non che assume solo valori finiti.

In teoria $epsilon$ è maggiorante di $||f_n(x)-f(x)||_Y$ e per definizione di estremo superiore (minimo dei maggioranti) si ha che $su p_(x inA)||f_n(x)-f(x)||_Y
Ma $epsilon$ dipende da $x$, per questo la disuguaglianza non è giustificata.

[Angus1956]

Se $f_n$ convergesse uniformemente a $f$ avrei immediatamente che $f$ è limitata e $||f_n-f||_\infty->0$

[otta96]

È vero.

[Angus1956]

"otta96":È vero.

Tu dici che posso dimostrare che $f_n$ converge uniformemente a $f$ fin dove sono arrivato? Perchè sennò non ho idea di come fare a mostare che $f$ è limitata e che la convergenza è in norma.

[otta96]

Si dovresti riuscirci.

[Angus1956]

"otta96":Si dovresti riuscirci.

Ok, sennò in caso a te erano venute in mente altre strade nel caso? Grazie.

[Angus1956]

Ma la successione $f_n(x)=x^n$ definita su $[0,1]$ non è di Cauchy in $(F_b(A),||.||_\infty)$, vero? (Mentre lo è in $(Y,||.||_Y)$)

[otta96]

"andreadel1988":Mentre lo è in $(Y,||.||_Y)$

Questa cosa non ha senso, perchè non appartiene propio a $Y$.

[Angus1956]

"otta96":
Questa cosa non ha senso, perchè non appartiene propio a $Y$.

Scusami volevo intendere $(Y,||.||_Y)$ con $(R,|.|)$