Spazio metrico (Q,d) HELPPP!!!

[wedge]

sia dato lo spazio metrico (Q,d)
con d(p,q)=|p-q| distanza euclidea

l'insieme E={p$in$Q, 2
1) è chiuso in (Q,d)?
2) è aperto?
3) è compatto?

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in my humble opinion
è evidente che SQRT2, SQRT3, -SQRT2 e -SQRT3 sono punti di accumulazione di E...
E è aperto, non è difficile dimostrare che ogni suo punto è interno
E è chiuso? direi di no poichè E', insieme dei punti di accumulazione di E, non è sottoinsieme di E...
ma sono in dubbio poichè nello spazio metrico (Q,d) gli irrazionali non esistono... infatti E in (Q,d) è limitato ma non ammette estremi sup/inf
se l'insieme E fosse stato immerso nello spazio metrico (R,d) non avrei avuto dubbi... (ma può un insieme essere contemporaneamente chiuso e aperto? non credo!)
E dovrebbe essere non compatto, poichè { $( SQRT(3 - 1/(n+2)) , SQRT(3-1/n) )$} al variare di $n in NN$ è una copertura aperta di E dalla quale non si può astrarre alcuna copertura finita...

qualcuno aiuta a dipanare la mia confusione su E chiuso? avanti saggi del forum
grazie!

[Mistral2]

"wedge":sia dato lo spazio metrico (Q,d)
con d(p,q)=|p-q| distanza euclidea

l'insieme E={p$in$Q, 2
1) è chiuso in (Q,d)?
2) è aperto?
3) è compatto?

Do la soluzione completa dell'esercizio.
Suggerisco di vedere la definizione topologica di aperti e chiusi senza immaginare Q come un sottoinsieme di R.

2) E è aperto perche per ogni suo punto p esiste un insieme aperto {x$in$Q: |x-p|
1) E chiuso perchè Q-E è aperto, questo perchè ne sqrt2 ne sqrt 3 stanno in Q-E essendo irrrazionali.


Questo ci dice che l'insieme Q è sconnesso dato che possiede un insieme contemporaneamente aperto e chiuso distinto da Q e dall'insieme vuoto, anzi infinitamente sconnesso dato che di questi insieme ne esistono infiniti.

3) L'insieme E è compatto se da ogni suo ricoprimento fatto di aperti si può estrarre un ricoprimento finito. Basta considerare il seguente ricoprimento:

S={E(n):n$in$N} con E(n)={2
non è troppo difficile dimostrare che non esiste un ricoprimento di E fatto da un numero finito di elementi di S.


Quindi direi che a parte il punto 1 siamo più o meno d'accordo.
Saluti

Mistral

[wedge]

grazie Mistral, molto gentile.
non avevo considerato la (s)connessione di Q.