Spazio metrico e topologia

[7ania92]

Perchè se ho uno spazio metrico $(X,d)$ e la sua topologia $T$, posso dire sempre che $X in T$ ??Cioè, come faccio a dire che un qualsiasi spazio metrico è aperto?? se io come prendo $X=[a,b] in R$ un intervallo chiuso e prendo un sfera di centro $a$ o di centro $b$ questa non sarà contenuta in $X$ , perciò $X$ non è aperto anche se è uno spazio metrico
Chi può chiarirmi questo dubbio??? C'è qualche condizione che non tengo in considerazione??
Grazie mille!

[Pappappero1]

In genere la condizione che lo spazio ambiente sia aperto rientra nella definizione di topologia. Tu che definizione di aperto hai?

Comunque nel tuo esempio gli intervalli di centro $a,b$ in $[a,b]$ sono contenuti in $[a,b]$. Infatti, per definizione di topologia indotta, per fare gli aperti di un sottospazio devi prendere gli aperti dello spazio ambiente e intersecarli con il tuo sottospazio. Prendi un intervallo di centro $a$, ad esempio $(a-\epsilon,a+\epsilon)$ e intersecalo con $[a,b]$. Viene (per $\epsilon$ abbastanza piccolo), l'intervallo $[a,a+\epsilon)$, che è contenuto in $[a,b]$.

[dissonance]

"Taniab":se io come prendo $X=[a,b] in R$ un intervallo chiuso e prendo un sfera di centro $a$ o di centro $b$ questa non sarà contenuta in $X$ ,

No. Il tuo spazio metrico ora è $[a,b]$, e una sfera di centro $a$ e raggio $\delta$ è per definizione
\begin{equation}
\{x\in [a, b]\ :\ d(a, x)<\delta\}.
\end{equation}
Nota la condizione $x \in [a, b]$. Quello che dice Pappappero è la generalizzazione di questa costruzione dagli spazi metrici agli spazi topologici.

[gugo82]

"Taniab":Perchè se ho uno spazio metrico $(X,d)$ e la sua topologia $T$, posso dire sempre che $X in T$ ??

\(X\) è unione della famiglia di tutte le palle aperte; quindi è aperto.

[7ania92]

"dissonance": una sfera di centro $a$ e raggio $\delta$ è per definizione
\begin{equation}
\{x\in [a, b]\ :\ d(a, x)<\delta\}.
\end{equation}

Era proprio questo che non consideravo, che gli elementi di una sfera devono appartenere allo spazio metrico in cui la definisco!!
Grazie mille a tutti, siete stati davvero chiari e gentili.