Spazio metrico e distanza discreta

[curiosone1]

Sia (X, d) uno spazio metrico e sia d la distanza discreta (=0 se x=y, =1 se x diverso da y). X è un insieme con almeno due punti e A è un sottoinsieme di X non vuoto. Mi viene chiesto?
1) La parte interna di A è certamente vuota => falso! (e ci siamo)
2) X è sconnesso => Io direi di no (generalmente) invece il mio professore dice di sì.

Come ragiono: se X contiene almeno gli elementi "1" e "2" ok, è sconnesso. Ma se X è un intervallo: [4, 9] sottoinsieme di R, esso diventa un insieme connesso (insieme connesso <=> intervallo). E invece perché afferma che è sconnesso?

[dan952]

Nessun sottoinsieme di $RR$ con la metrica discreta dovrebbe essere un intervallo. Riguarda la definizione di intervallo

[curiosone1]

Ma parla dell'insieme X non dell'insieme di punti generato dalla distanza... Questa cosa non l'ho ancora capita...

[dan952]

Stai lavorando su $RR$ con la metrica discreta, dunque sottoinsiemi di $RR$ che soddisfano la definizione di intervallo non ci sono, proprio perché ogni sottoinsieme di $(RR, d)$ è sconnesso, e siccome i sottoinsiemi connessi di $RR$ sono tutti e soli gli intervalli, concludiamo che non esistono intervalli con quella metrica.

[curiosone1]

Allora dan95 innanzitutto ti ringrazio. Io domani mattina cerco di rielaborare i concetti e capire come spuntarla (purtroppo queste domande mi fregano). Ti ringrazio e ti auguro la buona notte!

[killing_buddha]

"dan95":Stai lavorando su $RR$ con la metrica discreta, dunque sottoinsiemi di $RR$ che soddisfano la definizione di intervallo non ci sono, proprio perché ogni sottoinsieme di $(RR, d)$ è sconnesso, e siccome i sottoinsiemi connessi di $RR$ sono tutti e soli gli intervalli, concludiamo che non esistono intervalli con quella metrica.

Ma no: la connessione è una proprietà che dipende da che topologia metti! Su \(\mathbb{R}\) con la topologia discreta (che è quella indotta dalla metrica discreta) gli intervalli sono tutti e soli i singoletti, che sono esattamente i connessi. Viceversa, un qualsiasi insieme con la topologia banale è connesso (perché gli unici aperti che esistono, il vuoto e tutto, sono i soli clopen della topologia), anche se dandogli un'altra topologia diventa sconnesso.

Vi lascio una domanda: in generale, nel reticolo $\tau(X)$ delle topologie su un insieme $X$, vorresti determinare gli elementi minimali rispetto ai quali $X$ si riesce a vedere come sconnesso. Come fai?

[killing_buddha]

Venendo alla risposta: uno spazio discreto è sempre sconnesso, perché ogni suo sottoinsieme $A$ è un clopen, dunque $X$ si spezza come unione di due clopen \(A\cup A^c\).

[otta96]

"killing_buddha":Vi lascio una domanda: in generale, nel reticolo $\tau(X)$ delle topologie su un insieme $X$, vorresti determinare gli elementi minimali rispetto ai quali $X$ si riesce a vedere come sconnesso. Come fai?

Azzardo una risposta, per caso sono quelle topologie t.c $EEYsubX$ t.c la topologia è ${X,Y^c,Y,\emptyset}$?