Spazio metrico completo (successioni di Cauchy)
Ciao a tutti,
come da titolo ho qualche problema con le successioni di cauchy, in particolare quando ho uno spazio metrico con la metrica ''integrale'': $d(f,g)=\int |f(t)-g(t)|dt$ nello spazio metrico $C^o[a,b]$ delle funzioni continue su un sottoinsieme chiuso e limitato di R
il prof considera la successione di cauchy così definita:
$f_n(x)=\{(0 , x\in[0,1-1/n]),(nx-n+1 , x\in[1-1/n,1]),(1 ,x\in[1,2]),(-nx+2n+1 ,x\in[2,2+1/n]),(0 , x\in[2+1/n,3]):}$
E' di cauchy se vale la definizione: $AAa>0 EEn\inN : d(f_h(x),f_k(x)n$ (in genere abbiamo applicato questa def. a successioni di reali, quindi suppongo x debba essere fissato)
Come faccio a dire che è di Cauchy nella metrica integrale? considerando che $f_k$ e $f_h$ hanno anche intervalli di definizione diversi?
ad esempio se $h$1/k<1/h$ quindi ,ad esempio $[0,1-1/k]!= [0,1-1/h]$
come da titolo ho qualche problema con le successioni di cauchy, in particolare quando ho uno spazio metrico con la metrica ''integrale'': $d(f,g)=\int |f(t)-g(t)|dt$ nello spazio metrico $C^o[a,b]$ delle funzioni continue su un sottoinsieme chiuso e limitato di R
il prof considera la successione di cauchy così definita:
$f_n(x)=\{(0 , x\in[0,1-1/n]),(nx-n+1 , x\in[1-1/n,1]),(1 ,x\in[1,2]),(-nx+2n+1 ,x\in[2,2+1/n]),(0 , x\in[2+1/n,3]):}$
E' di cauchy se vale la definizione: $AAa>0 EEn\inN : d(f_h(x),f_k(x)n$ (in genere abbiamo applicato questa def. a successioni di reali, quindi suppongo x debba essere fissato)
Come faccio a dire che è di Cauchy nella metrica integrale? considerando che $f_k$ e $f_h$ hanno anche intervalli di definizione diversi?
ad esempio se $h
Risposte
Dire che una successione di funzioni \((f_n)\) continue in \([a,b]\) è di Cauchy rispetto alla distanza che hai riportato significa dire che essa soddisfa la proprietà:
\[
\forall \varepsilon >0,\ \exists \nu \in \mathbb{N}:\ \forall n,m\geq \nu,\quad \int_a^b \left| f_n(x) - f_m(x)\right|\ \text{d} x<\varepsilon\; .
\]
Quindi non c'è alcun bisogno di fissare la \(x\)...
Per venire all'esercizio, innanzitutto, hai provato a disegnare i grafici delle \(f_n\)?
Se no, disegnane un paio (ad esempio \(f_2\) ed \(f_4\)) e chiediti, graficamente, cosa rappresenti la distanza:
\[
d(f_2,f_4) = \int_0^3 |f_2(x)-f_4(x)|\ \text{d} x\; .
\]
Una volta capito ciò, chiediti cosa significa per la successione \((f_n)\) essere di Cauchy rispetto alla distanza \(d(\cdot ,\cdot)\).
\[
\forall \varepsilon >0,\ \exists \nu \in \mathbb{N}:\ \forall n,m\geq \nu,\quad \int_a^b \left| f_n(x) - f_m(x)\right|\ \text{d} x<\varepsilon\; .
\]
Quindi non c'è alcun bisogno di fissare la \(x\)...
Per venire all'esercizio, innanzitutto, hai provato a disegnare i grafici delle \(f_n\)?
Se no, disegnane un paio (ad esempio \(f_2\) ed \(f_4\)) e chiediti, graficamente, cosa rappresenti la distanza:
\[
d(f_2,f_4) = \int_0^3 |f_2(x)-f_4(x)|\ \text{d} x\; .
\]
Una volta capito ciò, chiediti cosa significa per la successione \((f_n)\) essere di Cauchy rispetto alla distanza \(d(\cdot ,\cdot)\).
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