Spazio L2. perchè?
salve.
ho da poco iniziato a studiare qualcosina sugli spazi di hilbert.
leggendo un file pdf trovato in giro per la rete leggo qualcosa che non riesco a capire a proposito della formulazione debole(problema di dirichlet)
il file è questo: http://www.unipa.it/averna/did/Analisi%20Funzionale/Stefania/sobolev(stefania2).pdf
a pagina 4 quando cerca di ricavare la formulazione debole del problema dice :
$∫ u′v′dx +∫ uvdx =∫ f vdx$
Resta ora da precisare la richiesta minima su u, u',v, v' affinché le operazioni svolte abbiano significato e gli integrali siano ben definiti. Considerando anche le condizioni al bordo richieste per la funzione test e la soluzione si comprende che:
$u, v ∈ X := {w ∈ L^2(0, 1), w′∈ L^2(0, 1), w(0) = w(1) = 0}$
ecco questo non lo riesco a capire, quali sono questi integrali a cui va dato un senso tirando in ballo gli spazi di hilbert?
grazie!
ho da poco iniziato a studiare qualcosina sugli spazi di hilbert.
leggendo un file pdf trovato in giro per la rete leggo qualcosa che non riesco a capire a proposito della formulazione debole(problema di dirichlet)
il file è questo: http://www.unipa.it/averna/did/Analisi%20Funzionale/Stefania/sobolev(stefania2).pdf
a pagina 4 quando cerca di ricavare la formulazione debole del problema dice :
$∫ u′v′dx +∫ uvdx =∫ f vdx$
Resta ora da precisare la richiesta minima su u, u',v, v' affinché le operazioni svolte abbiano significato e gli integrali siano ben definiti. Considerando anche le condizioni al bordo richieste per la funzione test e la soluzione si comprende che:
$u, v ∈ X := {w ∈ L^2(0, 1), w′∈ L^2(0, 1), w(0) = w(1) = 0}$
ecco questo non lo riesco a capire, quali sono questi integrali a cui va dato un senso tirando in ballo gli spazi di hilbert?
grazie!
Risposte
Una condizione minimale affinché la funzione \(u'\, v'\) sia integrabile è che \(u', v'\in L^2\) (cosa che puoi verificare usando la disuguaglianza di Holder).
grazie per la risposta.
ho provato a vedere qualcosa sulla disuguaglianza di holder(non l'abbiamo fatta) ma non ho ben capito come potrei verificarlo. (non me lo dire..provo a pensarci su)
ad ogni modo perché la funzione $u'v'$ mi fa porre queste condizioni?. se non ti dispiace gradirei una risposta comprensibile intuitivamente.
grazie rigel.
ho provato a vedere qualcosa sulla disuguaglianza di holder(non l'abbiamo fatta) ma non ho ben capito come potrei verificarlo. (non me lo dire..provo a pensarci su)
ad ogni modo perché la funzione $u'v'$ mi fa porre queste condizioni?. se non ti dispiace gradirei una risposta comprensibile intuitivamente.
grazie rigel.
In generale, una richiesta (tutto sommato minimale) che garantisca che il prodotto \(f\cdot g\) di due funzioni sia integrabile è
\[
f\in L^p,\qquad g\in L^q,\qquad p,q\geq1,\quad \frac{1}{p}+\frac{1}{q} = 1.
\]
(Quando avrai visto la disug. di Holder ti sarà anche chiaro il perché.)
Se lo spazio ambiente per \(f\) e \(g\) deve essere lo stesso, puoi scegliere \(p=q=2\).
\[
f\in L^p,\qquad g\in L^q,\qquad p,q\geq1,\quad \frac{1}{p}+\frac{1}{q} = 1.
\]
(Quando avrai visto la disug. di Holder ti sarà anche chiaro il perché.)
Se lo spazio ambiente per \(f\) e \(g\) deve essere lo stesso, puoi scegliere \(p=q=2\).
ti chiedevo una strada alternativa perché non credo che la faremo la disuguaglianza di holder(il docente prima delle vacanze ha iniziato un nuovo argomento).
Sembra però abbastanza strano che nn l'abbiamo toccata. ma in generale tutto il corso che sto seguendo è su questa falsa riga(facciamo tutto ,ma male).
un'altra domanda se ne posso approfittare : stavo leggendo,proprio ora, un bel pdf sugli spazi di hilbert ed è nata una domanda:
ci sono spazi vettoriali in cui non è possibile definire una funzione "prodotto interno"?
edit: ho capito la relazione di holder! in questo caso(p=2) ho semplicemente la disuguaglianza di cauchy! giusto?
Sembra però abbastanza strano che nn l'abbiamo toccata. ma in generale tutto il corso che sto seguendo è su questa falsa riga(facciamo tutto ,ma male).
un'altra domanda se ne posso approfittare : stavo leggendo,proprio ora, un bel pdf sugli spazi di hilbert ed è nata una domanda:
ci sono spazi vettoriali in cui non è possibile definire una funzione "prodotto interno"?
edit: ho capito la relazione di holder! in questo caso(p=2) ho semplicemente la disuguaglianza di cauchy! giusto?
Sì, è la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz nello spazio di Hilbert \(L^2\).
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