Spazio $L^1(RR)$
data $f\in L^1(RR)$ dire se
$lim_{n->\infty}\int_{n}^{n+1}f(x) dx=0$.
vale ancora se $f\in L^p(RR)$ con $p\geq 2$???
come diavolo si risolve????
$lim_{n->\infty}\int_{n}^{n+1}f(x) dx=0$.
vale ancora se $f\in L^p(RR)$ con $p\geq 2$???
come diavolo si risolve????
Risposte
E' il teorema della convergenza dominata, basta scrivere quell'integrale come integrale su $\RR$ di $f$ che moltiplica la funzione caratteristica di $(n,n+1)$. Quanto al caso $p \ge 2$ a occhio mi pare funzioni ancora per la disuguaglianza di Holder. Per $p=\infty$ ovviamente non vale.
nn ho ben capito in che modo l'applico?
$\int_n^{n+1}f(x)dx=\int_\RR f(x)\chi_{(n,n+1)}dx$. Ora l'integranda va a 0 puntualmente ed è dominata da $f$ che è sommabile.
grazie mille. ma per gli altri $p$ non mi riesce in quanto se utilizzo Holder non ottengo gran che. ovviamente il $L^{\infty}$ come dici tu nn funziona basta pensare alle costanti.
Applicando Holder hai $\int_n^{n+1}|f(x)|dx \leq (\int_n^{n+1}|f(x)|^p dx)^{1/p}$; sul membro di destra ragioni come fatto nel caso $L^1$.
ah! io facevo su tutto $RR$ ok grazie
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