Spazio funzioni a quadrato sommabile.

[salvatore.rizzo]

Salve ragazzi! Oggi studiando Teoria dei Segnali, mi sono imbattuto in un problema sullo spazio delle funzioni a quadrato sommabile.

Naturalmente viene definito il prodotto scalare tra due segnali/funzioni, c'è la norma indotta dal prodotto scalare (la norma di un segnale è uguale alla radice quadrata del prodotto scalare del segnale con se stesso), metrica indotta dalla norma ecc ecc...

Ora arriva il bello: se L^2 è uno spazio vettoriale, allora una qualunque combinazioni lineare di funzioni dello spazio è ancora interna ad esso. Ma cosa succede al prodotto tra due segnali di L^2 ?? Io ho scritto negli appunti che il prodotto tra due segnali a quadrato sommabile (detti anche segnali di energia), diventa integrabile come segnale.

Aspetto vostre risposte

EDIT: Spero di non aver sbagliato sezione. Eventualmente mi scuso!

[gugo82]

Per la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz, il prodotto di due funzioni di $L^2$ è in $L^1$.
Di più in generale non puoi avere. Per capire perché, basta considerare il prodotto delle due funzioni:
\[
f(x) =\begin{cases} 1/\sqrt[4]{x} &\text{, se } 0 \]
e:
\[
g(x) =\begin{cases} 1/\sqrt[3]{x} &\text{, se } 0 \]
Tali funzioni sono a quadrato sommabile, ma il loro prodotto non lo è.

[salvatore.rizzo]

Grazie mille , chiarissimo!

[salvatore.rizzo]

Riutilizzo questo post per evitare di scriverne un altro:

Perchè un segnale periodico limitato è sommabile? Non dovrebbe essere ad area infinita il modulo del segnale? Per esempio un'onda triangolare.

[gugo82]

"salvatore.rizzo":Riutilizzo questo post per evitare di scriverne un altro:

Perchè un segnale periodico limitato è sommabile? Non dovrebbe essere ad area infinita il modulo del segnale? Per esempio un'onda triangolare.

Quando si parla di segnali periodici, la sommabilità si riferisce ad un singolo intervallo di periodicità.
Ad esempio, se un segnale ha periodo $T=2$, si va a controllare se esso è in $L^1(0,2)$ oppure in $L^2(0,2)$.