Spazio euclideo, normato, metrico
Come da titolo, quali sono le differenze tra questi spazi?
Certo, sono definizioni diverse ma "il succo" mi sembra un po' quello.
La domanda quindi è: fino a che punto posso utilizzare indifferentemente i 3 termini?
Questo è quello che so:
Grazie anticipatamente
Certo, sono definizioni diverse ma "il succo" mi sembra un po' quello.
La domanda quindi è: fino a che punto posso utilizzare indifferentemente i 3 termini?
Questo è quello che so:
Uno spazio euclideo è uno spazio vettoriale (qui sono sicuro) nel quale è stata introdotta un'operazione $f: V xx V \to K$, dove $V$ è lo spazio e $K$ un campo, tale che $(\mathbf{v},\mathbf{w}) \to <\mathbf{v},\mathbf{w}> = c $.
Uno spazio normato è uno spazio vettoriale nel quale è stata introdotta un funzione $f: V \to K$, dove $V$ è lo spazio e $K$ un campo, tale che $\mathbf{v} \to ||\mathbf{v}|| = c $.
Uno spazio metrico è uno spazio (vettoriale?) nel quale è stata introdotta un funzione $d: V xx V \to K$, dove $V$ è lo spazio e $K$ un campo, tale che $(\mathbf{v},\mathbf{w}) \to d(\mathbf{v},\mathbf{w}) = c $.
Grazie anticipatamente
Risposte
La tua definizione di spazio metrico non è corretta; quella giusta è la seguente:
Da qui vedi che sul sostegno di uno spazio metrico non è necessario avere una struttura di spazio vettoriale: infatti gli assimomi della metrica non richiedono che tu debba (o possa) calcolare somme o prodotti per gli scalari di elementi dello spazio.
Ad esempio, se prendi un insieme non vuoto \(X\) e consideri \(d:X^2\mapsto \mathbb{R}\) definita ponendo:
\[
d(x_1,x_2):= \begin{cases} 0 &\text{, se } x_1=x_2\\
1 &\text{, altrimenti,}
\end{cases}
\]
la struttura \((X,d)\) è uno spazio metrico (provalo!) sul cui sostegno non è definita alcuna struttura vettoriale.
Ora, uno spazio vettoriale normato (in breve, spazio normato) si può strutturare canonicamente come spazio metrico con la cosiddetta distanza indotta dalla norma; in altre parole, se \((V,+,\cdot ,\| \cdot \|)\) è un generico spazio normato, è sempre possibile munire \(V\) di una distanza ponendo:
\[
d_{\text{indotta dalla norma}} (x,y) := \| y-x\|
\]
quindi si può considerare lo spazio metrico \((V,d_{\text{indotta dalla norma}})\).
Conseguentemente, ogni spazio normato si può riguardare come spazio metrico con la distanza indotta dalla norma.
Invece, uno spazio vettoriale euclideo (in breve, spazio euclideo) si può strutturare canonicamente come spazio normato con la norma indotta dal prodotto scalare; in altre parole, se \((V,+,\cdot ,\langle \cdot , \cdot \rangle )\) è un generico spazio euclideo, è sempre possibile munire \(V\) di una norma ponendo:
\[
\| x\|_{\text{indotta dal prodotto}} := \sqrt{\langle x,x\rangle}
\]
quindi si può considerare lo spazio normato \((V,+,\cdot ,\|\cdot \|_{\text{indotta dal prodotto}})\).
Conseguentemente, ogni spazio euclideo si può riguardare come spazio normato con la norma indotta dal prodotto scalare.
Inoltre, per quanto detto poco più sopra, il generico spazio euclideo si può anche strutturare canonicamente come spazio metrico usando come distanza quella indotta dalla norma indotta dal prodotto scalare (in breve, si dice direttamente "distanza indotta dal prodotto scalare"), i.e.:
\[
d_{\text{indotta dal prodotto}} (x,y):= \| y-x\|_\text{indotta dal prodotto} = \sqrt{\langle y-x,y-x\rangle}
\]
e, conseguentemente, ogni spazio euclideo si può riguardare come spazio metrico con la distanza indotta dal prodotto.
Sia \(X\) un insieme non vuoto.
Una funzione \(d:X^2\ni (x_1,x_2)\mapsto d(x_1,x_2)\in \mathbb{R}\) che gode delle proprietà:
[*:3ktnu3e4] \(d(x_1,x_2)\geq 0\) e \(d(x_1,x_2)=0 \Leftrightarrow x_1=x_2\) per ogni \(x_1,x_2\in X\);
[/*:m:3ktnu3e4]
[*:3ktnu3e4] \(d(x_2,x_1)=d(x_1,x_2)\) per ogni \(x_1,x_2\in X\);
[/*:m:3ktnu3e4]
[*:3ktnu3e4] \(d(x_1,x_2)\leq d(x_1,x_3)+d(x_3,x_2)\) per ogni \(x_1,x_2,x_3\in X\)[/*:m:3ktnu3e4][/list:u:3ktnu3e4]
è detta metrica (o distanza) su \(X\).
La coppia ordinata \((X,d)\) si chiama spazio metrico con sostegno \(X\) e distanza \(d\).
Da qui vedi che sul sostegno di uno spazio metrico non è necessario avere una struttura di spazio vettoriale: infatti gli assimomi della metrica non richiedono che tu debba (o possa) calcolare somme o prodotti per gli scalari di elementi dello spazio.
Ad esempio, se prendi un insieme non vuoto \(X\) e consideri \(d:X^2\mapsto \mathbb{R}\) definita ponendo:
\[
d(x_1,x_2):= \begin{cases} 0 &\text{, se } x_1=x_2\\
1 &\text{, altrimenti,}
\end{cases}
\]
la struttura \((X,d)\) è uno spazio metrico (provalo!) sul cui sostegno non è definita alcuna struttura vettoriale.
Ora, uno spazio vettoriale normato (in breve, spazio normato) si può strutturare canonicamente come spazio metrico con la cosiddetta distanza indotta dalla norma; in altre parole, se \((V,+,\cdot ,\| \cdot \|)\) è un generico spazio normato, è sempre possibile munire \(V\) di una distanza ponendo:
\[
d_{\text{indotta dalla norma}} (x,y) := \| y-x\|
\]
quindi si può considerare lo spazio metrico \((V,d_{\text{indotta dalla norma}})\).
Conseguentemente, ogni spazio normato si può riguardare come spazio metrico con la distanza indotta dalla norma.
Invece, uno spazio vettoriale euclideo (in breve, spazio euclideo) si può strutturare canonicamente come spazio normato con la norma indotta dal prodotto scalare; in altre parole, se \((V,+,\cdot ,\langle \cdot , \cdot \rangle )\) è un generico spazio euclideo, è sempre possibile munire \(V\) di una norma ponendo:
\[
\| x\|_{\text{indotta dal prodotto}} := \sqrt{\langle x,x\rangle}
\]
quindi si può considerare lo spazio normato \((V,+,\cdot ,\|\cdot \|_{\text{indotta dal prodotto}})\).
Conseguentemente, ogni spazio euclideo si può riguardare come spazio normato con la norma indotta dal prodotto scalare.
Inoltre, per quanto detto poco più sopra, il generico spazio euclideo si può anche strutturare canonicamente come spazio metrico usando come distanza quella indotta dalla norma indotta dal prodotto scalare (in breve, si dice direttamente "distanza indotta dal prodotto scalare"), i.e.:
\[
d_{\text{indotta dal prodotto}} (x,y):= \| y-x\|_\text{indotta dal prodotto} = \sqrt{\langle y-x,y-x\rangle}
\]
e, conseguentemente, ogni spazio euclideo si può riguardare come spazio metrico con la distanza indotta dal prodotto.
Più chiaro di così non potevi essere. Ti ringrazio moltissimo. 
Ops. Stavo rileggendo il post e per sbaglio ho cliccato il tasto Bump! Scusatemi 
Che figure
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