Spazio di Schwartz
Salve a tutti.
Sapreste aiutarmi a capire perchè lo spazio di Schwartz (funzioni a decrescenza rapida) è contenuto in ogni spazio Lp, con p appartenente a [1,inf] ?
Grazie in anticipo.
Sapreste aiutarmi a capire perchè lo spazio di Schwartz (funzioni a decrescenza rapida) è contenuto in ogni spazio Lp, con p appartenente a [1,inf] ?
Grazie in anticipo.
Risposte
Se $f in \bbS(RR^n)$, $f in L^p(RR)^n$.
a) $p=1$:
$||f||_1=int_{-oo}^{+oo}1/(1+x^2)(1+x^2)|f| dmu=int_{-oo}^{+oo}1/(1+x^2)|f| dmu+int_{-oo}^{+oo}1/(1+x^2)x^2|f| dmu<=$ (ricordare che f è in $ \bbS(RR^n)$)
$<=[s u p_{\ RR^n}|f|]int_{-oo}^{+oo}1/(1+x^2) dmu +[s u p_{\ RR^n}x^2|f|]int_{-oo}^{+oo}1/(1+x^2) dmu=[s u p_{\ RR^n}|f|] pi +[s u p_{\ RR^n}x^2|f|] pi = pi [s u p_{\ RR^n}|f| +s u p_{\ RR^n}x^2|f|] = pi (||f||_{oo} + ||x^2 f||_{oo}) <+oo$
b) $p$ qualunque in $[1,+oo]$:
$||f||_p <= ||\{|f|^{1/p}*|f|^{1-1/p}\}||_p <= ||f||_1 ||f||_{oo}<+oo $ (grazie al punto a e al fatto che f è in $ \bbS(RR^n)$).
Non so se volevi una prova o una spiegazione "a tutto tondo" di questo risultato: se è la seconda di queste due, non sono in grado e lascio ad altri la risposta.
Ciao.
a) $p=1$:
$||f||_1=int_{-oo}^{+oo}1/(1+x^2)(1+x^2)|f| dmu=int_{-oo}^{+oo}1/(1+x^2)|f| dmu+int_{-oo}^{+oo}1/(1+x^2)x^2|f| dmu<=$ (ricordare che f è in $ \bbS(RR^n)$)
$<=[s u p_{\ RR^n}|f|]int_{-oo}^{+oo}1/(1+x^2) dmu +[s u p_{\ RR^n}x^2|f|]int_{-oo}^{+oo}1/(1+x^2) dmu=[s u p_{\ RR^n}|f|] pi +[s u p_{\ RR^n}x^2|f|] pi = pi [s u p_{\ RR^n}|f| +s u p_{\ RR^n}x^2|f|] = pi (||f||_{oo} + ||x^2 f||_{oo}) <+oo$
b) $p$ qualunque in $[1,+oo]$:
$||f||_p <= ||\{|f|^{1/p}*|f|^{1-1/p}\}||_p <= ||f||_1 ||f||_{oo}<+oo $ (grazie al punto a e al fatto che f è in $ \bbS(RR^n)$).
Non so se volevi una prova o una spiegazione "a tutto tondo" di questo risultato: se è la seconda di queste due, non sono in grado e lascio ad altri la risposta.
Ciao.
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