Spazio di Hilbert separabile
-Teo. Sia $\mathcal{H}$ uno spazio di Hilbert. Lo spazio è separabile se e solo se esiste una base ortonormale numerabile.
-Def. Sia $(X,\tau)$ uno spazio topologico. $X$ è separabile se esiste un sottoinsieme denso in $X$ e numerabile.
Riguardo all'affermazione inversa del teorema: $\exists\ BASE => SEPARABILE$:
Se ammette una base allora consideriamo l'insieme delle combinazioni lineari finite a coefficienti razionali. Esse formano ovviemente un sottoinsieme denso nello spazio di Hilbert (ovviamente
) ed ognuna di esse può essere approssimata con una corrispondente combinazione lineare a coefficienti razionali, otteniamo allora un sottoinsieme denso e numerabile.
-Perché combinazioni lineari finite?
-La densità è dovuta alla densità dei razionali sul campo $\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$ in cui è definito lo spazio di Hilbert?
-Da dove deriva la numerabilità di tale insieme?
-ed ognuna di esse può essere approssimata con una corrispondente combinazione lineare a coefficienti razionali?
-Def. Sia $(X,\tau)$ uno spazio topologico. $X$ è separabile se esiste un sottoinsieme denso in $X$ e numerabile.
Riguardo all'affermazione inversa del teorema: $\exists\ BASE => SEPARABILE$:
Se ammette una base allora consideriamo l'insieme delle combinazioni lineari finite a coefficienti razionali. Esse formano ovviemente un sottoinsieme denso nello spazio di Hilbert (ovviamente
) ed ognuna di esse può essere approssimata con una corrispondente combinazione lineare a coefficienti razionali, otteniamo allora un sottoinsieme denso e numerabile. -Perché combinazioni lineari finite?
-La densità è dovuta alla densità dei razionali sul campo $\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$ in cui è definito lo spazio di Hilbert?
-Da dove deriva la numerabilità di tale insieme?
-ed ognuna di esse può essere approssimata con una corrispondente combinazione lineare a coefficienti razionali?
Risposte
"5mrkv":
-Teo. Sia $\mathcal{H}$ uno spazio di Hilbert. Lo spazio è separabile se e solo se esiste una base ortonormale numerabile.
-Def. Sia $(X,\tau)$ uno spazio topologico. $X$ è separabile se esiste un sottoinsieme denso in $X$ e numerabile.
Riguardo all'affermazione inversa del teorema: $\exists\ BASE => SEPARABILE$:
Se ammette una base allora consideriamo l'insieme delle combinazioni lineari finite a coefficienti razionali. Esse formano ovviemente un sottoinsieme denso nello spazio di Hilbert (ovviamente
-Perché combinazioni lineari finite?
Perché, conosci combinazioni lineari "infinite"?
"5mrkv":
-La densità è dovuta alla densità dei razionali sul campo $\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$ in cui è definito lo spazio di Hilbert?
La densità si dimostra in maniera davvero ovvia (prova) e discende dalla densità di \(\mathbb{Q}\) [risp. di \(\mathbb{Q}+\imath\ \mathbb{Q}\)] in \(\mathbb{R}\) [risp. \(\mathbb{C}\)].
"5mrkv":
-Da dove deriva la numerabilità di tale insieme?
Dal fatto che l'unione numerabile di insiemi numerabili è numerabile.
"5mrkv":
-ed ognuna di esse può essere approssimata con una corrispondente combinazione lineare a coefficienti razionali?
Refuso.
Perché, conosci combinazioni lineari "infinite"?
Boh, le serie?
La densità si dimostra in maniera davvero ovvia (prova) e discende dalla densità di Q [risp. di Q+ı Q] in R [risp. C].
Allora, ok.
Dal fatto che l'unione numerabile di insiemi numerabili è numerabile.
Ok.
Refuso.
In che senso refuso? Quale sarebbe?
Il teorema è questo: >>immagine<<
"5mrkv":Perché, conosci combinazioni lineari "infinite"?
Boh, le serie?
Mi scrivi la definizione di combinazione lineare che ti hanno insegnato in Algebra Lineare?
"5mrkv":Refuso.
In che senso refuso? Quale sarebbe?
Il teorema è questo: >>immagine<<
Ah, ok, avevo letto male.
Allora semplicemtne quella frase ti sta dicendo come devi procedere nella ovvia dimostrazione della densità.
Non ricordo. Comunque se vado a consultare il libro che ho utilizzato per Algebra e Geometria lineare, l'Abeasis, ho:
Possiamo estendere la somma a due o più vettori e possiamo combinare le due operazioni nel modo seguente. Se $v_1,v_2,...,v_k \in \mathbb{R}^n$ e $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,...,\alpha_k \in \mathbb{R}$:
$w=alpha_1 v_1+alpha_2 v_2+alpha_3 v_3+... +alpha_k v_k \in \mathbb{R}^n$
Il vettore $w$ si dice combinazine lineare dei vettori $v_1,v_2,...,v_k$ con pesi $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,...,\alpha_k$.
Nel corso di metodi matematici da cui viene il teorema precedente abbiamo distinto fra combinazioni lineari "finite" ed "infinite" che hanno senso una volta introdotta una topologia. No?
Possiamo estendere la somma a due o più vettori e possiamo combinare le due operazioni nel modo seguente. Se $v_1,v_2,...,v_k \in \mathbb{R}^n$ e $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,...,\alpha_k \in \mathbb{R}$:
$w=alpha_1 v_1+alpha_2 v_2+alpha_3 v_3+... +alpha_k v_k \in \mathbb{R}^n$
Il vettore $w$ si dice combinazine lineare dei vettori $v_1,v_2,...,v_k$ con pesi $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,...,\alpha_k$.
Nel corso di metodi matematici da cui viene il teorema precedente abbiamo distinto fra combinazioni lineari "finite" ed "infinite" che hanno senso una volta introdotta una topologia. No?
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