Spazio di Hilbert

piso88
Ciao a tutti.
Studiando sul Rudin gli spazi di Hilbert mi sono "imbattuto" in questo esempio:

Lo spazio vettoriale delle funzioni complesse continue su $[0,1]$ dotato del prodotto interno definito da:

$(f,g)=$ $ int_(0)^(1) f(t)bar(g(t))dt $

non è uno spazio di Hilbert.

Sicuramente la soluzione è semplice, ma dopo esserci stato su un po' senza trovare nè uno spunto per dimostrarlo nè un esempio di successione di Cauchy che non converge comincio a perdere lucidità.
Qualcuno mi potrebbe illuminare?

Risposte
Fox4
la distanza naturalmente indotta da tale prodotto scalare è [tex]d(f,g)= ||f-g||= (f-g,f-g)=\int_0^1 |f-g|^2 dt[/tex]

prova con la successione di Cauchy fatta da [tex]f_n(t)=\left\{ \begin{matrix} 0 \;\;\;x\in [0,\frac{1}{2}] \\\\ n \left(t-\frac{1}{2}\right) \;\;\;x\in(\frac{1}{2},\frac{1}{2}+\frac{1}{n}] \\\\ 1 \;\;\; x\in (\frac{1}{2}+\frac{1}{n},1] \end{matrix}\right.[/tex]

Se non sbaglio le distanze diminuiscono all'infinito ma il limite è un gradino che non è continuo

piso88
Grazie mille. Avevo capito qual'era la distanza ma non trovavo un controesempio. Questo funziona.

Gaal Dornick
Rilancio!
E qual è il suo completamento? :-D

piso88
non ho avuto molto tempo per pensarci, ma direi $L^2(m)$ dove m è la misura di Lebesgue.
Che dite?

Fox4
Prego,

si direi che ci sei per quanto riguarda il completamento

piso88
Allora, direi che l'idea di dimostrazione dovrebbe essere questa:

poichè lavoriamo con le funzioni continue, su un compatto di $ RR $, allora l'integrale di Riemann coincide con l'integrale di Lebesgue e quindi la norma definita tramite il prodotto scalare in questione è proprio la norma di $L^2$.
Si nota che, sempre perchè stiamo lavorando su $[0,1]$, le funzioni continue coincidono con le funzioni continue a supporto compatto.
Sfruttando il teorema di Lusin si dimostra che lo spazio delle funzioni continue a supporto compatto è denso in $L^p$, e quindi in particolare in $L^2$.
Si conclude che $L^2(m)$ è il completamento dello spazio in questione.

Può andare?

dissonance
Si. C'è solo un refuso nel nome di Riemann, a volere proprio cercare il pelo nell'uovo. :-)

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