Spazio di Hilbert
Ciao a tutti.
Studiando sul Rudin gli spazi di Hilbert mi sono "imbattuto" in questo esempio:
Lo spazio vettoriale delle funzioni complesse continue su $[0,1]$ dotato del prodotto interno definito da:
$(f,g)=$ $ int_(0)^(1) f(t)bar(g(t))dt $
non è uno spazio di Hilbert.
Sicuramente la soluzione è semplice, ma dopo esserci stato su un po' senza trovare nè uno spunto per dimostrarlo nè un esempio di successione di Cauchy che non converge comincio a perdere lucidità.
Qualcuno mi potrebbe illuminare?
Studiando sul Rudin gli spazi di Hilbert mi sono "imbattuto" in questo esempio:
Lo spazio vettoriale delle funzioni complesse continue su $[0,1]$ dotato del prodotto interno definito da:
$(f,g)=$ $ int_(0)^(1) f(t)bar(g(t))dt $
non è uno spazio di Hilbert.
Sicuramente la soluzione è semplice, ma dopo esserci stato su un po' senza trovare nè uno spunto per dimostrarlo nè un esempio di successione di Cauchy che non converge comincio a perdere lucidità.
Qualcuno mi potrebbe illuminare?
Risposte
la distanza naturalmente indotta da tale prodotto scalare è [tex]d(f,g)= ||f-g||= (f-g,f-g)=\int_0^1 |f-g|^2 dt[/tex]
prova con la successione di Cauchy fatta da [tex]f_n(t)=\left\{ \begin{matrix} 0 \;\;\;x\in [0,\frac{1}{2}] \\\\ n \left(t-\frac{1}{2}\right) \;\;\;x\in(\frac{1}{2},\frac{1}{2}+\frac{1}{n}] \\\\ 1 \;\;\; x\in (\frac{1}{2}+\frac{1}{n},1] \end{matrix}\right.[/tex]
Se non sbaglio le distanze diminuiscono all'infinito ma il limite è un gradino che non è continuo
prova con la successione di Cauchy fatta da [tex]f_n(t)=\left\{ \begin{matrix} 0 \;\;\;x\in [0,\frac{1}{2}] \\\\ n \left(t-\frac{1}{2}\right) \;\;\;x\in(\frac{1}{2},\frac{1}{2}+\frac{1}{n}] \\\\ 1 \;\;\; x\in (\frac{1}{2}+\frac{1}{n},1] \end{matrix}\right.[/tex]
Se non sbaglio le distanze diminuiscono all'infinito ma il limite è un gradino che non è continuo
Grazie mille. Avevo capito qual'era la distanza ma non trovavo un controesempio. Questo funziona.
Rilancio!
E qual è il suo completamento?
E qual è il suo completamento?
non ho avuto molto tempo per pensarci, ma direi $L^2(m)$ dove m è la misura di Lebesgue.
Che dite?
Che dite?
Prego,
si direi che ci sei per quanto riguarda il completamento
si direi che ci sei per quanto riguarda il completamento
Allora, direi che l'idea di dimostrazione dovrebbe essere questa:
poichè lavoriamo con le funzioni continue, su un compatto di $ RR $, allora l'integrale di Riemann coincide con l'integrale di Lebesgue e quindi la norma definita tramite il prodotto scalare in questione è proprio la norma di $L^2$.
Si nota che, sempre perchè stiamo lavorando su $[0,1]$, le funzioni continue coincidono con le funzioni continue a supporto compatto.
Sfruttando il teorema di Lusin si dimostra che lo spazio delle funzioni continue a supporto compatto è denso in $L^p$, e quindi in particolare in $L^2$.
Si conclude che $L^2(m)$ è il completamento dello spazio in questione.
Può andare?
poichè lavoriamo con le funzioni continue, su un compatto di $ RR $, allora l'integrale di Riemann coincide con l'integrale di Lebesgue e quindi la norma definita tramite il prodotto scalare in questione è proprio la norma di $L^2$.
Si nota che, sempre perchè stiamo lavorando su $[0,1]$, le funzioni continue coincidono con le funzioni continue a supporto compatto.
Sfruttando il teorema di Lusin si dimostra che lo spazio delle funzioni continue a supporto compatto è denso in $L^p$, e quindi in particolare in $L^2$.
Si conclude che $L^2(m)$ è il completamento dello spazio in questione.
Può andare?
Si. C'è solo un refuso nel nome di Riemann, a volere proprio cercare il pelo nell'uovo. 
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo