Spazio di Hilbert

[galois23]

Qualcuno mi può aiutare a provare che il seguente spazio

\(\displaystyle S=\{ (x_n)_n \; :\; x_n \in \mathbb{C}, \; \sum_{n=1}^{+\infty} c_n |x_n|^2 < \infty \} \),

con \(\displaystyle (a_n)_n \) una successione di numeri reali positivi, è completo???

In qualche modo dovrei farmi aiutare dalla completezza di \(\displaystyle \mathcal{l}_2 \), ma non saprei come fare... Prendere una successione di elementi di \(\displaystyle S \), quindi una successione di elementi che, a sua volta, sono successioni, mi fa entrare in tilt... HELPPPPPPPPPPPPPPPP!!!!!

Grazie mille in anticipo!!!

(P.s.: ho già provato che se \(\displaystyle (x_n)_n, (y_n)_n \in S,\; allora \;\;\; \sum_{n=1}^{+\infty} c_n x_n \overline{y_n}\) è convergente e, definendo un prodotto, ho provato che è scalare. Quindi, provando anche la completezza, dimostro che \(\displaystyle S \) è uno spazio di Hilbert.)

[gugo82]

Beh, mi pare che, fissata \(\mathbf{c}=(c_n)\subset [0,+\infty[\), la funzione:
\[
\begin{split}
\mu_{\mathbf{c}}: \mathcal{P}(\mathbb{N}) &\to [0,+\infty]\\
E &\mapsto \sum_{n\in E} c_n
\end{split}
\]
sia una misura positiva su \(\mathbb{N}\) (prova a dimostrarlo!).
Se ci fai caso, il tuo spazio \(S\) coincide con \(L^2(\mathbb{N};\mu_{\mathbf{c}})\), poiché quando prendi una funzione \(\mathbf{x}:\mathbb{N}\ni n \mapsto x_n \in \mathbb{C}\) hai:
\[
\|\mathbf{x}\|_{L^2,\mu_{\mathbf{c}}}^2 = \int_\mathbb{N} |x_n|^2\ \text{d}\mu_\mathbf{c} = \sum_{n=1}^\infty c_n\ |x_n|^2\; ,
\]
dunque esso è completo per classici risultati di Teoria della Misura.