Spazio di funzioni

[Giuggetta971]

Come di fa a dimostrare che $C^1$([0,1]) spazio di funzioni continue e derivabili in [0,1]
dotato di $||u||c^1= ||u||+||u'|| $( entrambe norme infinito)
è o non è completo e compatto?

[gugo82]

Convergenza uniforme...

[Giuggetta971]

"gugo82":Convergenza uniforme...

Ci avevo pensato anche io ma non saprei come applicarla dato che non abbiamo fatto ancora alcuni teoremi secondo me necessari

[gugo82]

Osserva che se metti su $C^1$ la norma \(\| u\|_{C^1} := \| u\|_\infty + \| u^\prime\|_\infty\), hai:
\[
\begin{split}
(u_n) \text{ è di Cauchy in } C^1\quad &\stackrel{\text{def}}{\Leftrightarrow}\quad \| u_n -u_m\|_{C^1}\to 0 \\
&\Leftrightarrow \quad \begin{cases} \| u_n-u_m\|_\infty \to 0 \\ \| u_n^\prime - u_m^\prime \|_\infty \to 0\end{cases}\\
&\Leftrightarrow \quad \begin{cases} (u_n) &\text{ è uniformemente convergente } [0,1] \\ (u_n^\prime) &\text{ è uniformemente convergente in } [0,1]\end{cases}\; .
\end{split}
\]
Siano $u,v$ i limiti uniformi di $(u_n)$ e $(u_n^\prime)$; per passaggio al limite sotto il segno di derivata hai $v=u^\prime$, dunque $u\in C^1$ e passando al limite per $m\to \infty$ nella condizione di Cauchy in $C^1$ ottieni:
\[
\| u_n - u\|_{C^1} \to 0\quad \Leftrightarrow \quad u_n\to u \text{ in } C^1\; .
\]
Quindi lo spazio è completissimo.

Bonus question:
Lo stesso spazio è completo rispetto alla norma \(\| u\| := |u(0)| + \| u^\prime\|_\infty\)?