Spazio di Banach

[lotus99]

Ciao, ho un "piccolo" dubbio...lo spazio delle funzioni da X (contenuto in C) a C con la norma uniforme è di Banach?

Grazie a tutti...

[_Tipper]

Lo spazio $C((a,b), \mathbb{R})$ è di Banach se dotato della norma del sup, cosa che potrebbe essere non vera per un suo sottospazio. Per ogni $n \in \mathbb{N} \setminus \{0\}$, lo spazio $C^n((a,b), \mathbb{R})$, se dotato della norma del sup non è di Banach.

[lotus99]

Ti ringrazio, però la mia domanda era un po più generale e non solo riguardo i compatti (o gli intervalli chiusi se siamo in R), io chiedevo ( e lo faccio tutt'ora ) se comunque presa una successione $(f_n) \subset CC^X$ (con $f_n$ funzione da $X \subset CC \rightarrow CC$) che gode della proprietà di Cauchy con la norma uniforme o del sup, allora questa converge uniformemente ad una $f:X \subset CC \rightarrow CC$...

Grazie

[_Tipper]

Ah scusa, ho interpretato male quel C del tuo messaggio...

[lotus99]

Già in effetti ora che me lo fai notare era un po ambiguo Sorry!

[gugo82]

"lotus99":Ti ringrazio, però la mia domanda era un po più generale e non solo riguardo i compatti (o gli intervalli chiusi se siamo in R), io chiedevo ( e lo faccio tutt'ora ) se comunque presa una successione $(f_n) \subset CC^X$ (con $f_n$ funzione da $X \subset CC \rightarrow CC$) che gode della proprietà di Cauchy con la norma uniforme o del sup, allora questa converge uniformemente ad una $f:X \subset CC \rightarrow CC$...

Grazie

Se ho interpretato bene, la tua domanda è la seguente:

Se prendo $Xsubseteq CC$ ed una successione $(f_n)subset CC^X$ che gode della proprietà di Cauchy rispetto alla norma dell'estremo superiore (cioè $AA epsilon>0,exists nu in NN:quad AAn,m>nu, "sup"_X |f_n-f_m|

La risposta è sì. Ricordando il teorema di Cauchy:

Siano $Xsubseteq CC$ e $(f_n)subset CC^X$.
Se $(f_n)$ gode della proprietà di Cauchy rispetto alla norma dell'estremo superiore, allora esiste una funzione $f in CC^X$ tale che $f_nto f$ uniformemente in $X$.

puoi affermare che le successioni di funzioni che godono della proprietà di Cauchy sono tutte e sole le successioni uniformemente convergenti in $X$.

Tuttavia $CC^X$, pur potendosi dotare della struttura di $CC$-s.v., non è uno spazio di Banach!
Ciò è dovuto al fatto che la norma $||f||="sup"_X|f|$ non è definita per ogni elemento di $CC^X$, ma solo per quelle funzioni che sono limitate in $X$ (infatti una norma che si rispetti non può assumere il valore $+oo$ su nessun elemento dello spazio vettoriale su cui è definita ).

Una buona scappatoia è prendere come spazio vettoriale il sottospazio $(CC^X)_b$ delle funzioni limitate in $X$ (il pedice $b$ sta per bounded, ossia limitate): poichè la norma dell'estremo superiore è definita in tutto $(CC^X)_b$, puoi porti il problema di stabilire se tale spazio con la struttura metrica indotta dalla norma del $"sup"$ sia completo.
La soluzione di questo problema la lascio a te.

Spero di essere stato d'aiuto.
Buono studio.

[lotus99]

Fantastico!!!! Esattamente quello che mi serviva, mi hai chiarito un enorme dubbio!!!

Grazie 1000!!!

[gugo82]

"lotus99":Fantastico!!!! Esattamente quello che mi serviva, mi hai chiarito un enorme dubbio!!!

Grazie 1000!!!

Prego!