Spazio di Banach
So che uno spazio normato completo è uno spazio di Banach.
Ma uno spazio normato quando è completo?
Ma uno spazio normato quando è completo?
Risposte
uno spazio è completo quando in esso ogni successione di Cauchy converge ad un punto di tale spazio
ciao
ciao
Uno spazio normato V è detto completo, oppure spazio di Banach, quando ogni successsione di Cauchy a valori in V converge.
Se la dimensione di V è finita, allora ogni successione di Cauchy a valori in V converge. Quindi gli spazi normati di dimensione finita sono di Banach.
Consideriamo la successione $x_n $ nello spazio vettoriale normato V ; una successione si dice di Cauchy ( o fondamentale) se per ogni $epsilon > 0 $ esiste un indice $ n_epsilon $ tale che : $AA n,m > n_epsilon rarr ||x_n-x_m|| < epsilon.$
Lo spazio $C^0[a,b] $ è completo rispetto alla norma del massimo $||.||_(oo)$ , così definita $||f||_(oo)= max _(a<=x<=b)|f(x)| $.
Invece lo spazio $C^0[a,b]$ non è completo rispetto alla norma $||.||_1 $ così definita : $||f||_1 = int_a^b |f(x)|*dx $.
N.B. Per spazio $ C^0[a,b] $ si intende lo spazio delle funzioni continue nell'intervallo chiuso e limitato $[a,b] $.
Se la dimensione di V è finita, allora ogni successione di Cauchy a valori in V converge. Quindi gli spazi normati di dimensione finita sono di Banach.
Consideriamo la successione $x_n $ nello spazio vettoriale normato V ; una successione si dice di Cauchy ( o fondamentale) se per ogni $epsilon > 0 $ esiste un indice $ n_epsilon $ tale che : $AA n,m > n_epsilon rarr ||x_n-x_m|| < epsilon.$
Lo spazio $C^0[a,b] $ è completo rispetto alla norma del massimo $||.||_(oo)$ , così definita $||f||_(oo)= max _(a<=x<=b)|f(x)| $.
Invece lo spazio $C^0[a,b]$ non è completo rispetto alla norma $||.||_1 $ così definita : $||f||_1 = int_a^b |f(x)|*dx $.
N.B. Per spazio $ C^0[a,b] $ si intende lo spazio delle funzioni continue nell'intervallo chiuso e limitato $[a,b] $.
"Camillo":
Se la dimensione di V è finita, allora ogni successione di Cauchy a valori in V converge. Quindi gli spazi normati di dimensione finita sono di Banach.
Ovviamente se tale spazio è uno spazio vettoriale su $RR$ o su $CC$, non è vero se è uno spazio vettoriale su un campo qualunque (ad esempio $QQ$).
"irenze":
[quote="Camillo"]Se la dimensione di V è finita, allora ogni successione di Cauchy a valori in V converge. Quindi gli spazi normati di dimensione finita sono di Banach.
Ovviamente se tale spazio è uno spazio vettoriale su $RR$ o su $CC$, non è vero se è uno spazio vettoriale su un campo qualunque (ad esempio $QQ$).[/quote]
Scusami ma mi sfugge la definizione di norma su uno spazio vettoriale su $QQ$.
La stessa che su $RR$, uno spazio vettoriale lo puoi definire su un campo qualsiasi. Il punto è che non è completo...
"irenze":
La stessa che su $RR$, uno spazio vettoriale lo puoi definire su un campo qualsiasi. Il punto è che non è completo...
Lo so che uno spazio vettoriale si puo' definire su un campo arbitrario... ma la norma come la si definisce?
"Paranoa":
Lo so che uno spazio vettoriale si puo' definire su un campo arbitrario... ma la norma come la si definisce?
La definizione di norma non è unica. Una norma su uno spazio vettoriale è una funzione che rispetti determinate proprietà (immagino tu le conosca, altrimenti te lo scrivo). Dunque in generale in uno spazio vettoriale si possono definire più norme.
Per individuare una ben precisa e determinata norma, puoi ricorrere a una metrica e trovare facilmente la norma che induce tale distanza. Infatti se $V$ è uno spazio normato in esso si introduce una metrica ponendo $AA x,y in V$
$d(x,y)=||x-y||$
Abbiamo detto che in generale in uno spazio normato la norma non è unica. Tuttavia è bene sapere che in spazi a dimensione finita tutte le norme sono equivalenti, cioè inducono la stessa topologia.
"Kroldar":
[quote="Paranoa"]
Lo so che uno spazio vettoriale si puo' definire su un campo arbitrario... ma la norma come la si definisce?
La definizione di norma non è unica. Una norma su uno spazio vettoriale è una funzione che rispetti determinate proprietà (immagino tu le conosca, altrimenti te lo scrivo). Dunque in generale in uno spazio vettoriale si possono definire più norme.
Per individuare una ben precisa e determinata norma, puoi ricorrere a una metrica e trovare facilmente la norma che induce tale distanza. Infatti se $V$ è uno spazio normato in esso si introduce una metrica ponendo $AA x,y in V$
$d(x,y)=||x-y||$
Abbiamo detto che in generale in uno spazio normato la norma non è unica. Tuttavia è bene sapere che in spazi a dimensione finita tutte le norme sono equivalenti, cioè inducono la stessa topologia.[/quote]
Potresti scrivermi la definizione di norma? Ti ringrazio
Come diceva Kroldar , la norma può essere definita in tanti modi ; deve solo rispettare delle proprietà.
Prima di tutto sia V uno spazio vettoriale reale o complesso.Un 'applicazione $||.||$ di V in $RR$ è detta norma in V quando verifica le proprietà seguenti:
* $||bar v || > 0 $ , $ AA bar v in V -[0] $ - Positività
* $||c*bar v || = |c|*||bar v|| , AA bar v in V $,$ AA c in RR $ oppure $ AA c in CC $ - Omogeneità
*$||bar u+barv || <= ||bar u||+||barv|| $ , $AAbarv,baru inV $- Disuguaglianza triangolare.
Prima di tutto sia V uno spazio vettoriale reale o complesso.Un 'applicazione $||.||$ di V in $RR$ è detta norma in V quando verifica le proprietà seguenti:
* $||bar v || > 0 $ , $ AA bar v in V -[0] $ - Positività
* $||c*bar v || = |c|*||bar v|| , AA bar v in V $,$ AA c in RR $ oppure $ AA c in CC $ - Omogeneità
*$||bar u+barv || <= ||bar u||+||barv|| $ , $AAbarv,baru inV $- Disuguaglianza triangolare.
* In $RR^n $ si ha la norma euclidea : $|bar v| = (sum_(i=1)^n v_i^2)^(1/2) $
ed anche $||barv||_1 = sum_(i=1)^n |v_i| $
e pure : $||barv||_oo = max _(1<=i<=n) |v_i| $
ma anche , se $p $ è un numero reale $>=1 $ , è una norma in $RR^n$ la seguente :
$ ||barv||_p = (sum_(i=1)^n (|v_i|^p))^(1/p) $etc. etc.
*In $CC^n $ è una norma ad esempio $ |barv | = (sum_(i=1)^n |v_i^2|)^(1/2) $ .
*Nello spazio $ C^0[a,b ]$ delle funzioni continue in $[a,b]$ si possono introdurre varie norme , ad es.
$||f||_(oo) = max_(a<=x<=b) |f(x)| $
ed anche : $||f||_1 = int_a^b |f(x)|dx $ .
L'analoga della norma euclidea è data da : $||f||_2 = (int_a^b|f(x)|^2*dx)^(1/2)$.
ed anche $||barv||_1 = sum_(i=1)^n |v_i| $
e pure : $||barv||_oo = max _(1<=i<=n) |v_i| $
ma anche , se $p $ è un numero reale $>=1 $ , è una norma in $RR^n$ la seguente :
$ ||barv||_p = (sum_(i=1)^n (|v_i|^p))^(1/p) $etc. etc.
*In $CC^n $ è una norma ad esempio $ |barv | = (sum_(i=1)^n |v_i^2|)^(1/2) $ .
*Nello spazio $ C^0[a,b ]$ delle funzioni continue in $[a,b]$ si possono introdurre varie norme , ad es.
$||f||_(oo) = max_(a<=x<=b) |f(x)| $
ed anche : $||f||_1 = int_a^b |f(x)|dx $ .
L'analoga della norma euclidea è data da : $||f||_2 = (int_a^b|f(x)|^2*dx)^(1/2)$.
E' interessante aggiungere che in dimensione finita tutte le norme sono equivalenti, per cui dare quella euclidea è sufficiente. In dimensione infinita invece no, non è detto che due norme siano equivalenti tra di loro: ad esempio in $C^0[a,b]$ le due norme (1 e 2) introdotte da Camillo non sono equivalenti.
Vi ringrazio per la gentilezza... la definizione data da Camillo coincide con quella che conoscevo io e presuppone che il campo base sia $RR$ o $CC$. Ma irenze parlava (implicitamente) di norma su uno spazio vettoriale su un campo arbitrario:
Ovviamente se tale spazio è uno spazio vettoriale su $RR$ o su $CC$, non è vero se è uno spazio vettoriale su un campo qualunque (ad esempio $QQ$).[/quote]
Come si puo' definire uno spazio normato su un campo arbitrario?
"irenze":
[quote="Camillo"]Se la dimensione di V è finita, allora ogni successione di Cauchy a valori in V converge. Quindi gli spazi normati di dimensione finita sono di Banach.
Ovviamente se tale spazio è uno spazio vettoriale su $RR$ o su $CC$, non è vero se è uno spazio vettoriale su un campo qualunque (ad esempio $QQ$).[/quote]
Come si puo' definire uno spazio normato su un campo arbitrario?
Beh, su $QQ$ (che è l'esempio che ho citato) puoi mettere la stessa norma che su $RR$ (e quindi su $QQ^n$ la stessa norma che su $RR^n$ e così via... il punto è che ottieni spazi non completi).
Non so bene come mettere una norma su campi di caratteristica maggiore di 1 ma credo che in qualche modo si possa...
EDIT: Avevo pensato una cosa e scritto un'altra, scusate...
Non so bene come mettere una norma su campi di caratteristica maggiore di 1 ma credo che in qualche modo si possa...
EDIT: Avevo pensato una cosa e scritto un'altra, scusate...
"irenze":
Non so bene come mettere una norma su campi di caratteristica finita ma credo che in qualche modo si possa...
Mah... che io sappia tutti i campi hanno caratteristica finita
...beh no:
$\mathbb{Z}_p$ è un campo se p è primo, e questi hanno caratteristica p...
per dire.
$\mathbb{Z}_p$ è un campo se p è primo, e questi hanno caratteristica p...
per dire.
"SonjaKovaleskaja":
...beh no:
$\mathbb{Z}_p$ è un campo se p è primo, e questi hanno caratteristica p...
per dire.
Come? $p$ non e' un numero finito?
beh, diciamo che Giro-Batol e SoniaKovalevskaja hanno fatto un duetto raro, per Matematicamente.it 
se ci aggiungiamo irenze che pensa a una cosa e ne scrive un'altra, non male questa fila di post!
succede
ovviamente $p$, numero primo, di solito è finito...
e, altrettanto ovviamente, ci sono campi che non hanno caratteristica finita (che poi questa la si designi convenzionalmente con "$0$" è un altro discorso)
se ci aggiungiamo irenze che pensa a una cosa e ne scrive un'altra, non male questa fila di post!
succede
ovviamente $p$, numero primo, di solito è finito...
e, altrettanto ovviamente, ci sono campi che non hanno caratteristica finita (che poi questa la si designi convenzionalmente con "$0$" è un altro discorso)
"Fioravante Patrone":
e, altrettanto ovviamente, ci sono campi che non hanno caratteristica finita (che poi questa la si designi convenzionalmente con "$0$" è un altro discorso)
ma come ''convenzionalmente''? la caratteristica di un campo (o piu' generalmente di un anello unitario $A$) non e' il generatore non negativo del nucleo dell'omomorfismo di anelli che manda $n \in ZZ$ in $n \epsilon \in A$, dove con $\epsilon$ denoto l'unita' di $A$?
appunto, convenzione
detta con parole semplici o apparentemente complicate sempre convenzione è
quello che davvero importa è se c'è $n$ t.c. $1+1+\ldots+1=0$ (sommato $n$ volte)
e in questo caso abbiamo caratteristica finita
e questi campi hanno proprietà significativamente diverse da quelle degli altri
per il resto, uno può dire che un campo che non soddisfa la suddetta condizione ha caratteristica "$0$", o che non ha caratteristica, o che ha caratteristica "$oo$", o "Baciccia"
dire che in tal caso ha caratteristica finita serve solo a confondere le acque
che poi sia $0$ a generare il nucleo dell'omomorfismo... mi lascia un tantino freddo, visto che il nucleo è piccino picciò...
detta con parole semplici o apparentemente complicate sempre convenzione è
quello che davvero importa è se c'è $n$ t.c. $1+1+\ldots+1=0$ (sommato $n$ volte)
e in questo caso abbiamo caratteristica finita
e questi campi hanno proprietà significativamente diverse da quelle degli altri
per il resto, uno può dire che un campo che non soddisfa la suddetta condizione ha caratteristica "$0$", o che non ha caratteristica, o che ha caratteristica "$oo$", o "Baciccia"
dire che in tal caso ha caratteristica finita serve solo a confondere le acque
che poi sia $0$ a generare il nucleo dell'omomorfismo... mi lascia un tantino freddo, visto che il nucleo è piccino picciò...
non sono d'accordo
e che c'e' di complicato? a me sembra una definizione (non direi una convenzione) naturalissima
certo, ma in questo caso la caratteristica, oltre a essere finita, e' positiva, ed e' questo che fa la differenza, non trovi?
se uno vuole restare coerente (e farsi capire dagli altri) deve dire (secondo me, sia chiaro) che la caratteristica e' zero
ma perche'? nel primo caso la caratteristica e' positiva, nel secondo e' zero, dov'e' la confusione?
e figurati se uno dicesse che quel nucleo e' generato da $oo$!
"Fioravante Patrone":
appunto, convenzione
detta con parole semplici o apparentemente complicate sempre convenzione è
e che c'e' di complicato? a me sembra una definizione (non direi una convenzione) naturalissima
"Fioravante Patrone":
quello che davvero importa è se c'è $n$ t.c. $1+1+\ldots+1=0$ (sommato $n$ volte)
e in questo caso abbiamo caratteristica finita
e questi campi hanno proprietà significativamente diverse da quelle degli altri
certo, ma in questo caso la caratteristica, oltre a essere finita, e' positiva, ed e' questo che fa la differenza, non trovi?
"Fioravante Patrone":
per il resto, uno può dire che un campo che non soddisfa la suddetta condizione ha caratteristica "$0$", o che non ha caratteristica, o che ha caratteristica "$oo$", o "Baciccia"
se uno vuole restare coerente (e farsi capire dagli altri) deve dire (secondo me, sia chiaro) che la caratteristica e' zero
"Fioravante Patrone":
dire che in tal caso ha caratteristica finita serve solo a confondere le acque
ma perche'? nel primo caso la caratteristica e' positiva, nel secondo e' zero, dov'e' la confusione?
"Fioravante Patrone":
che poi sia $0$ a generare il nucleo dell'omomorfismo... mi lascia un tantino freddo, visto che il nucleo è piccino picciò...
e figurati se uno dicesse che quel nucleo e' generato da $oo$!
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