Spazi pre-hilbertiani e spazi hilbertiani ....

menale1 · 2011-10-10CEST20:20:27+02:00

"Cari ragazzi mentre studiavo analisi II ( corso davvero molto interessante ) mi son imbattuto negli spazi hilbertiani ed in quelli pre-hilbertiani . Beh , per quanto concerne la definizione la differenza c'\u00e8 , ma da un punto di vista applicativo , mi sembra che sia davvero labile , soprattutto quando cerco spazi prehilbertiani che non lo siano . Attendo vostre delucidazioni in merito . Ringrazi , anticipatamente , per la collaborazione . "

Rigel1

10 ott 2011, 18:36

La differenza sta nella completezza.
$ C^0([a,b]) $, lo spazio delle funzioni continue in $[a,b]$, è uno spazio pre-hilbertiano con la norma
$ \|x\|_2 := \int_a^b |x(t)|^2 dt. $
Purtroppo non è completo (e questo può causare qualche problemino...).

Mrhaha

10 ott 2011, 19:46

Cioè? che genere di problemi? Anche io sto seguendo lo stesso corso di laurea,ma per ora non vedo l'importanza di queste nozioni che sono sicuramente interessanti! Ma alla fine serviranno per lo studio di funzioni a più variabili o cosa?

menale1

10 ott 2011, 19:54

Problema di che tipo ? È proprio questo che vorrei capire !!!

menale1

10 ott 2011, 19:58

P.S. devo ammettere che questo studio sugli spazi metrici è davvero interessante anche se son curioso di vedere il collegamento con le funzioni a più variabili .

Mrhaha

10 ott 2011, 20:04

"menale":
P.S. devo ammettere che questo studio sugli spazi metrici è davvero interessante anche se son curioso di vedere il collegamento con le funzioni a più variabili .

Concordo pienamente!

Rigel1

11 ott 2011, 07:55

L'importanza della completezza si può già capire confrontando $\QQ$ (che non è completo) con $\RR$ (che è il suo completamento).
Ci sono molti risultati legati alla completezza.
Già nel caso dei reali, se uno lavorasse in $\QQ$ non varrebbe nemmeno il teorema degli zeri per le funzioni continue (tanto per citare un esempio).
Negli spazi metrici ci sono parecchi risultati legati alla completezza (che dunque non valgono in spazi non completi).
Uno che sicuramente hai già incontrato è il lemma delle contrazioni, ma ce ne sono parecchi altri.
Detto molto a spanne, la completezza ti serve per garantire l'esistenza del limite di successioni "chiaramente" convergenti (quelle di Cauchy), dove con "chiaramente" intendo dire che uno, ragionevolmente, si aspetta di vederle convergere.

Pensa sempre ai razionali: la successione
$1$,
$1.4$,
$1.41$,
$1.414$,
$1.4142$,
$1.41421$,
$\ldots$
(approssimazioni razionali di $\sqrt{2}$), ti "aspetti" che converga (come potrebbe non farlo?), ma se lavori in $\QQ$ non lo fa (contro ogni "ragionevole" aspettativa...).

dissonance

11 ott 2011, 08:08

"Rigel":
Ci sono molti risultati legati alla completezza.

Provocatoriamente direi che "tutti" i risultati dell'Analisi sono legati alla completezza. I risultati che non fanno uso di tale proprietà sono conseguenza della sola struttura algebrica di $\mathbb{R}$ o dello spazio in questione. Non appena si cerca di sfruttare la struttura metrica si usa la completezza. In realtà, ora che ci penso, anche certi risultati algebrici fanno uso di tale proprietà metrica. Senza la completezza di $\mathbb{R}$, per esempio, non ci sarebbero le radici quadrate.

Mrhaha

11 ott 2011, 18:06

Quindi è fondamentale! Non pensavo fosse così importante! Grazie ragazzi!

gugo82

11 ott 2011, 18:17

"Mrhaha":
Cioè? che genere di problemi?

Come facevano notare dissonance e Righello, l'importanza della completezza di uno spazio funzionale è comparabile con l'importanza della completezza dello spazio dei numeri reali...

Per rendercene conto, facciamo un esempio concreto che serve a mettere in luce la differenza tra lo spazio hilbertiano $(L^2([0,2]),\lVert \cdot \rVert_2)$ e lo spazio prehilbertiano $(C([0,2]),\lVert \cdot \rVert_2)$ (nel seguito i sostegni dei due spazi saranno denotati per brevità con $L^2$ e $C$).
L'esempio l'ho "inventato", adattando allo scopo un esercizio del Rudin, Real and Complex Analysis - third edition (il n° 4 del cap. 5)... Spero vi piaccia (e soprattutto spero di non aver commesso errori!

).

[Disclaimer]

Forse quanto segue non è molto adatto a studenti di Analisi II...
Nondimeno però una lettura critica può essere utile.

[/Disclaimer]

Consideriamo l'insieme $E:=\{u\in L^2:\ \int_0^1 u=1+\int_1^2 u\}$ e la sua "traccia" su $C$, cioè $F=E\cap C$.
Gli insiemi $E$ ed $F$ sono convessi (banale*) e sequenzialmente chiusi: infatti usando la disuguaglianza di Holder possiamo di dire che se $u_n\to u$ con $u\in L^2$ allora è lecito il seguente passaggio al limite:
\[
\int_0^1 u=\lim_n \int_0^1 u_n =1+\lim_n \int_1^2 u_n =1+\int_1^2 u \; ;
\]
che assicura $u\in E$; analogamente si prova che se $v_n \to v$ con $v\in C$, allora $v\in F$.
Consideriamo inoltre il funzionale $ I :=\lVert u\rVert_2^2 =\int_0^2 u^2$ e proponiamoci di risolvere i problemi:
\[
\tag{1} \min \{ I,\ u\in E\}
\]
\[
\tag{2} \min \{ I[v],\ v\in F\}
\]
Affinché i due problemi siano ben posti, occorre che il funzionale $I[\cdot ]$ abbia almeno estremo inferiore finito: tale cosa si verifica certamente, poiché $0\leq I<+\infty$ per ogni $u\in L^2$ ed a fortiori per ogni $u\in C$.
Pertanto, detti $m:=\inf_{u\in E} I$ e $\mu :=\inf_{v\in F} I[v]$, il problema (1) [risp. (2)] ha soluzione se e solo se esiste qualche $\bar{u}\in E$ [risp. $\bar{v} \in F$] tale che $m=I[\bar{u}]$ [risp. $\mu =I[\bar{v}]$].

Mostriamo che (1) ha soluzione unica.
Innanzitutto notiamo che:

continuo

strettamente convesso

coercitivo

\\
\text{(str. convessità)} &\quad \forall u_1\neq u_2 \in L^2,\ \forall \lambda \in ]0,1[,\ I[\lambda u_1 +(1-\lambda) u_2]< \lambda I[u_1] +(1-\lambda)I[u_2]\\
\text{(coercitività)} &\quad \lim_{\lVert u\rVert_2 \to +\infty} \frac{I}{\lVert u\rVert_2} =+\infty \; ,
\end{split}
\][/*:m:1kdniqca]
[*:1kdniqca] $E$ è convesso e chiuso,[/*:m:1kdniqca]
[*:1kdniqca] $L^2$ è di Hilbert, ossia completo rispetto alla norma;[/*:m:1kdniqca][/list:u:1kdniqca]
pertanto possiamo applicare un risultato generale che garantisce l'esistenza e l'unicità del minimo di $I[\cdot ]$ su $E$.** Quindi (1) ha soluzione unica.
Con un po' di conti mostriamo che la funzione:
\[
\bar{u} (x):=\frac{1}{2} \Big( \chi_{[0,1[}(x) -\chi_{[1,2]} (x) \Big) =\begin{cases} 1/2 &\text{, se } 0\leq x< 1 \\ -1/2 &\text{, se } 1\leq x\leq 2\end{cases}
\]
dà il minimo ad $I[\cdot]$ in $E$, cioè che per ogni $u\in E$ si ha $I\geq I[\bar{u}]=1/2$.
Fissata $u \in E$ abbiamo:
\[
\begin{split}
I &= \int_0^1 u^2 +\int_1^2 u^2 -1 +1 &\qquad \text{(sommato e sottratto } 1\text{)}\\
&= \int_0^1u^2 +\int_1^2 u^2 -\int_0^1 u +\int_1^2 u +1 &\qquad \text{(definizione di } E\text{)}\\
&= \int_0^1 (u-\frac{1}{2})^2 +\int_1^2 (u+\frac{1}{2})^2 +\frac{1}{2} &\qquad \text{(un po' di algebra)}\\
&= I[u-\bar{u}] +I[\bar{u}]\\
&\geq I[\bar{u}] &\qquad \text{(positività del funzionale } I[\cdot] \text{)}
\end{split}
\]
come volevamo.

Ora passiamo al problema (2).
Dato che lo spazio $C$ non è completo, non possiamo applicare il teorema applicato nel caso di $L^2$, ergo non possiamo dire "a priori" se il problema (2) ha soluzione... Allora andiamo a sporcarci di nuovo le manine coi conti.
Dato che $F\subseteq E$ si ha evidentemente $\mu \geq m=1/2$.
Ora mostriamo che $\mu \leq 1/2$: per ogni $n\in \mathbb{N}$ consideriamo la funzione:
\[
v_n (x) :=\begin{cases} \frac{1}{2} &\text{, se } 0\leq x\leq 1-\frac{1}{n} \\ \text{lineare} &\text{, se } 1-\frac{1}{n} \leq x\leq 1+\frac{1}{n} \\ -\frac{1}{2} &\text{, se } 1+\frac{1}{n} \leq x\leq 2 ,\end{cases}
\]
ove il raccordo lineare è scelto in modo che $v_n$ sia continua (il che si può sempre fare in unico modo; in figura il grafico di $v_4$);
[asvg]xmin=0; xmax=2; ymin=-1; ymax=1;
axes("","");
stroke="red"; strokewidth=2; path([[0,0.5],[0.75,0.5],[1.25,-0.5],[2,-0.5]]);[/asvg]
notando che il grafico di $v_n$ forma con le ascisse due trapezi calcoliamo:
\[
\int_0^1 v_n = \frac{2n-1}{4n} \qquad \text{e} \qquad \int_1^2 v_n = -\frac{2n+1}{4n}
\]
sicché $v_n\in F$; d'altra parte è:
\[
I[v_n] =\int_0^2 v_n^2 =\frac{1}{2}+\frac{2}{3n}
\]
(modulo errori nei conti, ma dovrebbe essere giusto) quindi $1/2 =\lim_n I[v_n] \geq \mu$.
Da quanto finora mostrato segue che $\mu =1/2$.
Ciò ci porta a concludere che il problema (2) non ha soluzione: infatti se, per assurdo, supponessimo l'esistenza di un $\bar{v} \in F$ tale che $I[\bar{v}] =1/2$, data l'inclusione $C\subseteq L^2$ la funzione $\bar{v}$ darebbe il minimo ad $I[\cdot]$ anche in $L^2$; vista l'unicità del minimo di $I[\cdot]$ in $L^2$, si dovrebbe avere $\bar{v} =\bar{u}$ quasi ovunque contro il fatto che $\bar{v}$ è continua ed $\bar{u}$ non lo è e quindi tali funzioni non possono coincidere q.o.

Dov'è il busillis, allora?
Beh, basta guardare la successione minimizzante $(v_n)$ per rendercene conto: infatti essa è una successione convergente in $L^2$ verso $\bar{u}$, ergo è di Cauchy in $\lVert \cdot \rVert_2$ (tanto se considerata come successione di $L^2$ quanto se considerata come successione di $C$, ovviamente) e tuttavia essa non converge in $C$!

__________
* Ricordo che un sottoinsieme $C\neq \varnothing$ di uno spazio vettoriale $\mathbb{V}$ è detto convesso se e solo se per ogni $x,y\in C$ ed ogni $\lambda \in [0,1]$ risulta $\lambda x +(1-\lambda)y\in C$; geometricamente ciò significa che $C$ contiene tutti i segmenti che hanno per estremi punti di $C$.
Ad esempio, $E$ è convesso: infatti se $u_1,u_2\in E$ per ogni $\lambda \in [0,1]$ si ha $\lambda u_1+(1-\lambda )u_2 \in L^2$ e:
\[
\begin{split}
\int_0^1 \lambda u_1+(1-\lambda)u_2 &= \lambda \int_0^1 u_1 +(1-\lambda )\int_0^1 u_2\\
&= \lambda +\lambda\int_1^2 u_1 +(1-\lambda) +(1-\lambda) \int_1^2 u_2 \\
&= 1+\int_1^2 \lambda u_1+(1-\lambda )u_2 \; ,
\end{split}
\]
sicché $\lambda u_1+(1-\lambda) u_2\in E$.

** I L'unicità discende dalla stretta convessità di $I[\cdot]$ e dalla convessità di $E$: difatti se, per assurdo, esistessero due minimi $u_1\neq u_2 \in E$ prendendo $\lambda =\frac{1}{2}$ si troverebbe $\bar{u}=\frac{1}{2} (u_1+u_2)\in E$ ed $I[\bar{u}]<\frac{1}{2} (I[u_1]+I[u_2]) =m$, il che è impossibile perché $I[\bar{u}]\geq m$.
II L'esistenza discende in un modo tecnico, ma non troppo complicato, dalla continuità e dalla coercitività di $I[\cdot]$, da chiusura e convessità di $E$ e dalla completezza di $L^2$.
Prendiamo una successione $(u_n) \subseteq E$ tale che $\lim_n I[u_n] =m$ (che esiste, per le proprietà dell'estremo inferiore, e viene detta successione minimizzante); tale successione è limitata in norma: infatti se, per assurdo, non lo fosse la coercività imporrebbe $I[u_n]\geq \lVert u_n\rVert_2$ per $n$ sufficientemente grande; ma la successione $(I[u_n])$ è convergente e dunque limitata e quindi esisterebbe un $M\geq 0$ tale che $M\geq I[u_n]\geq \lVert u_n\rVert_2$ per $n$ grande; quindi $(u_n)$ sarebbe limitata in norma, il che è palesemente contro l'ipotesi.
Ora, senza entrare nei dettagli, dato che $L^2$ è di Hilbert e che la $(u_n)$ è limitata, si può estrarre da essa una sottosuccessione $(u_{n_k})$ che converge "in senso debole" verso un elemento $\bar{u}\in E$ (questa proprietà è l'analogo della proprietà di Bolzano di $\mathbb{R}$, i.e. del fatto che da successioni limitate di numeri reali si estrae almeno una sottosuccessione convergente) e per tale sottosuccessione si vede che $m\leq I[\bar{u}]\leq \lim_n I[u_{n_k}] =m$, ergo $I[\bar{u}]=m$ ed $\bar{u}$ è dunque il minimo di $I[\cdot]$ in $E$.

"Mrhaha":
Anche io sto seguendo lo stesso corso di laurea,ma per ora non vedo l'importanza di queste nozioni che sono sicuramente interessanti! Ma alla fine serviranno per lo studio di funzioni a più variabili o cosa?

Inoltre no, questo genere di nozioni non è collegato allo studio delle funzioni di più variabili reali (che si fa con tecniche semplicissime, ricalcanti quanto fatto per le funzioni di una variabile).
Piuttosto la loro "importanza" è collegata alla cosiddetta Analisi Funzionale, ossia a quell'enorme calderone di tecniche astratte (di cui il teorema di Banach-Caccioppoli è solo il primo esempio!) le quali trovano applicazione nella soluzione di tanti problemi dell'Analisi.

P.S.: Questo post mi pare degno di essere il mio 10K-esimo... Che dite?
Ora non mi resta che mantenere la promessa che avevo fatto qui.
Byes.

P.P.S.: http://www.youtube.com/watch?v=cMYSWiPm7E0

menale1

11 ott 2011, 18:19

Bene , bene , è proprio importante lavorare in una struttura in cui viga la completezza . Riflettendoci , è proprio vero lo stesso teorema delle contrazioni non varrebbe !

menale1

11 ott 2011, 18:33

Complimenti per le conoscenze , Gugo82 ed auguri per il tuo 10000 messaggio !

Mrhaha

11 ott 2011, 19:04

Gugo mi piacerebbe dirti "Ahhhhhhhhhhhhhhhh! si,ora è tutto chiaro!" Ma è da poco che mastico queste cose,domani con maggior calma leggerò la tua risposta!

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