Spazi normati

[qwertyuio1]

Ho letto che se X è un R-spazio vettoriale normato, le operazioni di somma e prodotto per scalare sono continue rispetto alla metrica indotta dalla norma.
Come faccio a dimostrarlo? Il mio problema è che non so che metrica (o topologia) considerare su X*X e R*X (domini rispettivamente delle funzioni + e *).

(In termini più precisi si tratta di dimostrare che uno spazio normato è uno spazio vettoriale topologico)

[gugo82]

"qwertyuio":Il mio problema è che non so che metrica (o topologia) considerare su [tex]X\times X[/tex] e [tex]\mathbb{R}\times X[/tex]

La classica topologia prodotto?
(Che è indotta da un metrica prodotto, a sua volta indotta da una norma prodotto... Tutte costruite in un modo abbastanza standard.)

Scusate, ma Topologia Elementare che fine ha fatto? L'hanno abolita da tutti i corsi di laurea?
Al vecchio ordinamento si studiava in Geometria II al secondo anno, ma ora?

[Luca.Lussardi]

La topologia prodotto ovviamente. Si tratta solo di usare la definizione di norma e tutto segue subito.

EDIT: pardon per la sovrapposizione...

[gugo82]

Figurati Luca.

Ma sei tornato nel paese della pizza, o sei ancora in quello del riso?

[Luca.Lussardi]

Per fortuna sono rientrato in quello della pizza, anche se i cinesi sono convinti che la pizza sia una invenzione americana.... evito ogni altro commento.

[gugo82]

"Luca.Lussardi":Per fortuna sono rientrato in quello della pizza, anche se i cinesi sono convinti che la pizza sia una invenzione americana.... evito ogni altro commento.

Si vede che non hanno mai visitato Napoli sotterranea e la pizzeria Brandi.

[qwertyuio1]

Ok abbiamo parlato di topologia prodotto, ma non di distanza prodotto nè di norma prodotto. Come si definiscono?

[dissonance]

@qwertyuio: Usa di piu' la funzione Cerca. Leggi qui, ad esempio, per la distanza prodotto:
https://www.matematicamente.it/forum/pos ... tml#227425

Una volta che hai capito questo concetto puoi tranquillamente fabbricarti da solo una norma prodotto. Se proprio non ci riesci dai un'occhiata agli appunti di Gilardi, nel primo capitolo, paragrafo "Alcune costruzioni canoniche".