Spazi misurabili in C

[Lord Rubik]

Buongiorno!
Sia $(X,M)$ uno spazio misurabile e sia $f:XrarrCC$, con $f(x)=u(x)+iv(x)$, $AA x in X$. Allora:

$1$ $u,v$ misurabili $=> f$ misurabile
$2$ $f$ misurabile $=> u,v,|f|$ misurabili

Sulla numero $1$ non ho avuto problemi a dimostrarla. Come faccio a dimostrare la $2$?
Mi potete aiutare, per piacere?
Grazie anticipatamente!

[Paolo902]

Che definizione hai di misurabilità per funzioni a valori complessi?

La prima cosa che mi viene in mente - quindi potrebbe essere una scemenza - è questa: pensa $CC$ come $RR^2$ e scrivi la tua $f$ come applicazione $F:\mathbb R \to RR^2$. Ora le proiezioni sui fattori sono mappe continue (topologia prodotto) e così pure la mappa $(x,y)\mapsto \sqrt{x^2+y^2}$; a questo punto, è sufficiente ricordare che il prodotto di una funzione misurabile per una continua è misurabile.

Ti torna?

[gugo82]

Si può tenere presente che:
\[
f \text{ è misurabile}\ \Leftrightarrow\ \overline{f} \text{ è misurabile}
\]
e che:
\[
u= \frac{1}{2}\ \left( f+\overline{f}\right),\quad v= \frac{1}{2\imath}\ \left( f-\overline{f}\right),\quad |f|^2 =f\ \overline{f}\; .
\]

[Lord Rubik]

Grazie ad entrambi per l'aiuto!