Spazi misurabili
Buongiorno! Il mio problema e nella seconda parte della numero $3$ che andrò ad esporre qui di seguito. Non ho capito cosa voglia dire...
Definizioni
$1$ $(X,M,m)$ "Spazio di misura", dove $X!=\phi$, $M$ è una $\sigma$-algebra ed $m: M \rightarrow [0, +infty)$.
$2$ $f$ è misurabile se $AA A sube Y$ aperto risulta $f^-1$$(A)$$in M$.
$3_a$ $M={\phi,X}$ con $X!=\phi$. Sia $f:XrarrY$.
Se $f=k$ costante, allora preso $AA A sube Y$ aperto $f^-1(A)={(\phi,if k notin A),(X,if k in A):}$. Allora le funzioni costanti sono misurabili.
$3_b$ Supponiamo $f$ non costante. Ad esempio $EE E_1, E_2 in P(X)$ tali che $f(x)={(k_1,if x in E_1),(k_2,if x in E_2):}$, con $k_1!=k_2$.
Se $EE A sube Y$ aperto tale che $k_1 in A$, ma $k_2 notin A$ allora $f^-1(A)=E_1 notin M$.
Perché $f^-1(A)=E_1 notin M$? Chi è $M$ in questo caso? È sempre $M={\phi,X}$ come in $3_a$?
Potreste gentilmente spiegarmi meglio quest'ultima parte? Grazie ed un saluto a tutti i componenti di Matematicamente.it!
Definizioni
$1$ $(X,M,m)$ "Spazio di misura", dove $X!=\phi$, $M$ è una $\sigma$-algebra ed $m: M \rightarrow [0, +infty)$.
$2$ $f$ è misurabile se $AA A sube Y$ aperto risulta $f^-1$$(A)$$in M$.
$3_a$ $M={\phi,X}$ con $X!=\phi$. Sia $f:XrarrY$.
Se $f=k$ costante, allora preso $AA A sube Y$ aperto $f^-1(A)={(\phi,if k notin A),(X,if k in A):}$. Allora le funzioni costanti sono misurabili.
$3_b$ Supponiamo $f$ non costante. Ad esempio $EE E_1, E_2 in P(X)$ tali che $f(x)={(k_1,if x in E_1),(k_2,if x in E_2):}$, con $k_1!=k_2$.
Se $EE A sube Y$ aperto tale che $k_1 in A$, ma $k_2 notin A$ allora $f^-1(A)=E_1 notin M$.
Perché $f^-1(A)=E_1 notin M$? Chi è $M$ in questo caso? È sempre $M={\phi,X}$ come in $3_a$?
Potreste gentilmente spiegarmi meglio quest'ultima parte? Grazie ed un saluto a tutti i componenti di Matematicamente.it!
Risposte
Da come lo espone non è chiaro cosa sia $M$ nel punto 3b ma dalle conclusioni che trae direi che lavora sempre sulla sigma algebra banale ($x$ e il vuoto).
Hai compresoc ome funzione f nel punto 3a? Nel punto 3b più o meno è lo stesso, ovviamente il fatto però che non sia costante fa si che se prendi un insieme $A$ che contiene solo $k_1$.
$f(x)=k_1$ per ogni $x \in E_1$ allora se faccio la controimmagine di $k_1$ finisco in $E_1$ (ammettendo che anche ci siano altri elementi su di essi f non è definita quindi non portano alcun contributo, l'unico eventuale problema è $k_2$ ma sappiamo che non c'è).
Non so se ti è d'aiuto, mi auguro di si.
Hai compresoc ome funzione f nel punto 3a? Nel punto 3b più o meno è lo stesso, ovviamente il fatto però che non sia costante fa si che se prendi un insieme $A$ che contiene solo $k_1$.
$f(x)=k_1$ per ogni $x \in E_1$ allora se faccio la controimmagine di $k_1$ finisco in $E_1$ (ammettendo che anche ci siano altri elementi su di essi f non è definita quindi non portano alcun contributo, l'unico eventuale problema è $k_2$ ma sappiamo che non c'è).
Non so se ti è d'aiuto, mi auguro di si.
Il punto $3_a$ l'ho capito! Ho compreso anche che facendo la controimmagine di $k_1$ finisco in $E_1$. Ammettendo che $M={\phi,X}$ allora $f^-1(A)!=E_2$ dato che $k_2 notin A$. Quindi il fatto che $f^-1(A)=E_1 notin M$ è dato dal fatto che $E_1$ non sta in ${\phi,X}$?
Non ho capito cosa vuoi dire con questa frase: "ovviamente il fatto però che non sia costante fa si che se prendi un insieme $A$ che contiene solo $k_1$". Potresti spiegarti meglio su questa frase, cortesemente? E poi non capisco come il fatto che $f$ non costante cosa implichi...
Non ho capito cosa vuoi dire con questa frase: "ovviamente il fatto però che non sia costante fa si che se prendi un insieme $A$ che contiene solo $k_1$". Potresti spiegarti meglio su questa frase, cortesemente? E poi non capisco come il fatto che $f$ non costante cosa implichi...
Scusa il ritardo
Spiego la frase che hai virgolettato:
il fatto che prenda almeno 2 valori differenti ti permette di dire che esiste un insieme $A$ che contiene ad esempio $k_1$ ma non $k_2$ e un insieme per cui vale il viceversa.
E così lavorando su questi insiemi come spiega il punto 3b puoi vedere che non sono misurabili rispetto alla sigma algebra banale.
Se fosse costante prenderebbe un certo calore $k$ su tutto il dominio e saremmo nel caso 3a che però come dici hai capito.
Spiego la frase che hai virgolettato:
il fatto che prenda almeno 2 valori differenti ti permette di dire che esiste un insieme $A$ che contiene ad esempio $k_1$ ma non $k_2$ e un insieme per cui vale il viceversa.
E così lavorando su questi insiemi come spiega il punto 3b puoi vedere che non sono misurabili rispetto alla sigma algebra banale.
Se fosse costante prenderebbe un certo calore $k$ su tutto il dominio e saremmo nel caso 3a che però come dici hai capito.
Ah ok! Adesso ho compreso ciò che volevi dire! Grazie 1000
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