Spazi metrici piccoli...
Find all metrics on a set $X$ consisting of two points, and consisting of one point.
Questa domanda mi sta facendo grattare un po' la testa. Per la prima, la prima cosa che viene in mente è l'analogo della metrica discreta, in una versione leggermente più generale: considero una distanza che resistuisca un numero $0$ nel caso in cui prenda i due punti uguali, e un altro numero $m>0$ quando prendo quelli diversi (non sono costretto a scegliere l'uno, no?). Teoricamente quindi in base alla mia scelta ne esistono infinite; non so però se se ne possano definire di diverse.
Per quanto riguarda uno spazio monopunto, la faccenda si fa interessante. Definire semplicemente $d:=0$ mi sembra funzionare, visto che rispetta tutti gli assiomi. Altre idee non ne ho, e mi chiedo quale utilità pratica possa avere uno spazio del genere!
Per curiosità mi chiedo anche cosa succeda per l'insieme vuoto. La mia definizione non dice esplicitamente che $X$ debba essere non vuoto: esiste un modo per definire una metrica su \(\displaystyle \emptyset \)? In effetti non ha senso parlare di elementi $x$ e $y$ e quant'altro, ma proprio perché non ne ha quelle proprietà non sono rispettate in ogni caso? Probabilmente è una domanda insensata, ma l'insieme vuoto è infido...
Questa domanda mi sta facendo grattare un po' la testa. Per la prima, la prima cosa che viene in mente è l'analogo della metrica discreta, in una versione leggermente più generale: considero una distanza che resistuisca un numero $0$ nel caso in cui prenda i due punti uguali, e un altro numero $m>0$ quando prendo quelli diversi (non sono costretto a scegliere l'uno, no?). Teoricamente quindi in base alla mia scelta ne esistono infinite; non so però se se ne possano definire di diverse.
Per quanto riguarda uno spazio monopunto, la faccenda si fa interessante. Definire semplicemente $d:=0$ mi sembra funzionare, visto che rispetta tutti gli assiomi. Altre idee non ne ho, e mi chiedo quale utilità pratica possa avere uno spazio del genere!
Per curiosità mi chiedo anche cosa succeda per l'insieme vuoto. La mia definizione non dice esplicitamente che $X$ debba essere non vuoto: esiste un modo per definire una metrica su \(\displaystyle \emptyset \)? In effetti non ha senso parlare di elementi $x$ e $y$ e quant'altro, ma proprio perché non ne ha quelle proprietà non sono rispettate in ogni caso? Probabilmente è una domanda insensata, ma l'insieme vuoto è infido...
Risposte
Quando \(X=\varnothing\), esiste solo una funzione \(\varnothing \to [0,\infty)\) perché l'insieme vuoto è l'oggetto iniziale della categoria degli insiemi. Che questa funzione verifichi le proprietà di una metrica è una verità vuota.
Quando \(X\) ha un elemento, devi determinare tutte le funzioni \(X\times X = X \to [0,\infty)\) che soddisfano le proprietà di una metrica. Una tale funzione è determinata da dove manda l'unico elemento di \(X\), e quindi la funzione costante in \(0\) è l'unica possibile.
Quando i punti sono 2, grazie alla simmetria della metrica devi definire solo \(d(x,y)\); puoi definire questo come un qualsiasi numero reale, e ogni tale metrica è equivalente ad ogni altra mediante un opportuno riscalamento. Quindi le metriche su \(\{0,1\}\) sono in biiezione con \([0,\infty)\) (la biiezione manda \(\alpha\in[0,\infty)\) in \(d_\alpha\), univocamente determinata da \(d_\alpha(0,1)=\alpha\)), ma c'è solo una classe di equivalenza di metriche (più formalmente, un'opportuna omotetia di \([0,\infty)\) rende isometrici \((X,d_\alpha)\) e \((X, d_\beta)\)).
Quando \(X\) ha un elemento, devi determinare tutte le funzioni \(X\times X = X \to [0,\infty)\) che soddisfano le proprietà di una metrica. Una tale funzione è determinata da dove manda l'unico elemento di \(X\), e quindi la funzione costante in \(0\) è l'unica possibile.
Quando i punti sono 2, grazie alla simmetria della metrica devi definire solo \(d(x,y)\); puoi definire questo come un qualsiasi numero reale, e ogni tale metrica è equivalente ad ogni altra mediante un opportuno riscalamento. Quindi le metriche su \(\{0,1\}\) sono in biiezione con \([0,\infty)\) (la biiezione manda \(\alpha\in[0,\infty)\) in \(d_\alpha\), univocamente determinata da \(d_\alpha(0,1)=\alpha\)), ma c'è solo una classe di equivalenza di metriche (più formalmente, un'opportuna omotetia di \([0,\infty)\) rende isometrici \((X,d_\alpha)\) e \((X, d_\beta)\)).
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