Spazi Metrici Limitati e Totalmente Limitati

[Fox4]

Dunque, in uno spazio metrico

Totalmente Limitato $=>$ Limitato
ma non è vero il viceversa

mentre mi sembra di poter tranquillamente dire che in \mathbb{R} lo è...

come mai in uno spazio metrico non è vero? qual è la condizione che salta? sarò stanco ma mi sembra davvero che se il diametro è finito non possa essere che servano infiniti punti per costituire una $\epsilon - n et$ dell'insieme

[dissonance]

Perché stai pensando a spazi euclidei, dove la cosa è vera. In questi spazi se un insieme $A$ è limitato allora ha la chiusura compatta (proprietà di Heine-Borel). In particolare $bar{A}$ è totalmente limitato e quindi anche $A$ lo è.
Ma se cade la proprietà di Heine-Borel cade tutto: prendi ad esempio lo spazio $l^2$ delle successioni a quadrato sommabile (*), munito della distanza $d_2(a, b)=sqrt(sum_{n=0}^infty|a_n-b_n|^2)$. Fanno parte di questo spazio le successioni $e^(1)=(1, 0, ...), e^(2)=(0, 1, 0, ...), ...$; chiamiamo $A={e^(1), e^(2), ... }$. Questo insieme è limitato ($forallx, y\inA, d_2(x, y)<=sqrt(2)$) ma non totalmente limitato.

(*) $(a_n)_{n\inNN}\inl^2\ iff\ sum_{n=0}^infty|a_n|^2

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[Fox4]

Ok quindi mi pare di capire che ciò che da noia è la "dimensione infinita" per dirla alla spazio vettoriale.

Quindi in uno spazio metrico (dato che non è definibile una dimensione) non si può affermare con certezza che Limitato $=>$ Totalmente Limitato

mentre lo si può fare se stiamo analizzando un sottoinsieme $A$ di uno spazio euclideo $E \ \ tc\ \ dim(E)<+\infty$

giusto?

[dissonance]

"Fox":Ok quindi mi pare di capire che ciò che da noia è la "dimensione infinita" per dirla alla spazio vettoriale.

Quindi in uno spazio metrico (dato che non è definibile una dimensione) non si può affermare con certezza che Limitato $=>$ Totalmente Limitato

mentre lo si può fare se stiamo analizzando un sottoinsieme $A$ di uno spazio euclideo $E \ \ tc\ \ dim(E)<+\infty$

giusto?

Certo. Anzi, un teorema di Analisi Funzionale (dovuto a Riesz) documenta questo fenomeno con precisione:

In uno spazio vettoriale normato $(E, ||*||)$ la sfera unitaria (${x\inE\ :\ ||x||<1}$) è totalmente limitata se e solo se $E$ ha dimensione finita.

Segue subito che gli spazi normati in cui sussiste l'equivalenza ($A$ è limitato)$iff$($A$ è totalmente limitato) sono tutti e soli quelli di dimensione finita.

[Fox4]

Wow, adesso è tutto molto più chiaro.

Grazie!