Spazi metrici (analisi I)

[wedge]

un bell'esercizietto di Analisi
qualcuno ha voglia e tempo di dare un'occhiata?


a) Dimostra che (X,d) con X=(0,+inf) e d(x,y)=|1/x-1/y| è uno spazio metrico
b) Come si rappresentano gli intorni in (X,d)?
c) Sia dato E=[3,+inf). In (X,d) E è infinito, chiuso, limitato, compatto?

a) è elementare dimostrare che la distanza d è positiva, che d=0 sse y=x, che d(x,y)=d(y,x), che vale la disuguaglianza triangolare.

b) uso la notazione Ur(c) intorno di raggio r di centro c
(non posto tutti i passaggi perchè al momento non ho installato MathType, chiedo venia )
comunque ottengo che Ur(c) è l'intervallo
( c/(1+r*c), c/(1-r*c) ) se r<1/c
( c/(1+r*c), +inf ) se r>=1/c

c) E è sicuramente infinito e chiuso (l'insieme dei punti di accumulazione E' è contenuto in E)
sulla limitatezza ho alcuni dubbi, legati alla forma degli intorni
non è compatto perchè l'unione di tutti gli aperti G(z)=(z-1,z+1) è una copertura aperta di E da cui non si può estrarre una copertura finita

[wedge]

21 visualizzazioni e nessuna risposta?