Spazi Metrici
Ciao, ho un dubbio sugli spazi metrici. Il testo è questo:
Sia $(X,d)$ uno spazio metrico e sia $f:X \rarr \mathbb{R}$ definita da $f(x)=d(x,x_0)$ con $x_0 \in X$ fissato. E' allora certamente vero che:
A. $f$ è globalemnte Lipschitziana
B. $f$ può non essere continua in $x_0$
C. $f$ può non essere continua su tutto $X$
Il mio dubbio è venuto perchè se io prendo come insieme $X=\mathbb{R}$ e come distanza la distanza discreta, cioè ${(1( x!=x_0)),(0 (x=x_0)):}$ la funzione $f$ non risulta continua, in quanto definita su tutto $\mathbb{R}$ e con una discontinuità di salto! Tuttavia la risposta corretta è la A, quindi chiedo se qualcuno può darmi una spiegazione.
Sia $(X,d)$ uno spazio metrico e sia $f:X \rarr \mathbb{R}$ definita da $f(x)=d(x,x_0)$ con $x_0 \in X$ fissato. E' allora certamente vero che:
A. $f$ è globalemnte Lipschitziana
B. $f$ può non essere continua in $x_0$
C. $f$ può non essere continua su tutto $X$
Il mio dubbio è venuto perchè se io prendo come insieme $X=\mathbb{R}$ e come distanza la distanza discreta, cioè ${(1( x!=x_0)),(0 (x=x_0)):}$ la funzione $f$ non risulta continua, in quanto definita su tutto $\mathbb{R}$ e con una discontinuità di salto! Tuttavia la risposta corretta è la A, quindi chiedo se qualcuno può darmi una spiegazione.
Risposte
Nel testo c'è qualcosa che non va.
Infatti, come la definisci la distanza tra un \(x\in X\) (qui \(X\) è un insieme non vuoto qualsiasi, potenzialmente...) ed un \(x_0\in \mathbb{R}\)???
Infatti, come la definisci la distanza tra un \(x\in X\) (qui \(X\) è un insieme non vuoto qualsiasi, potenzialmente...) ed un \(x_0\in \mathbb{R}\)???
Esatto, ho sbagliato io a scrivere...è $x_0 \in X$..correggo subito!
"andreabs85":
Il mio dubbio è venuto perchè se io prendo come insieme $X=\mathbb{R}$ e come distanza la distanza discreta,
...
la funzione $f$ non risulta continua, in quanto definita su tutto $\mathbb{R}$ e con una discontinuità di salto!
Ma non è possibile! Mischiare gli spazi metrici, che sono cose da adulti, con le "discontinuità di salto" che sono per i ragazzetti ancora col latte sulle labbra!
Punizione: oltre alle 20 frustate che ti darai, non andare a dormire prima di aver disegnato il grafico di una funzione non continua su uno spazio $X$ dotato della topologia discreta.
Nel tuo esempio $d(\cdot,x_0)$ e' continua: non devi continuare a pensare ad $\mathbb R$ con la topologia euclidea, ma con la nuova topologia. Quindi non c'e' nessun salto.
Se applichi la definizione di Lipschitzianita' ti accorgi subito che la risposta giusta e' la prima e, di conseguenza, le altre due non possono essere vere, visto che lipschitzianita' implica continuita'.
Se applichi la definizione di Lipschitzianita' ti accorgi subito che la risposta giusta e' la prima e, di conseguenza, le altre due non possono essere vere, visto che lipschitzianita' implica continuita'.
"Valerio Capraro":
Nel tuo esempio $d(\cdot,x_0)$ e' continua: non devi continuare a pensare ad $\mathbb R$ con la topologia euclidea, ma con la nuova topologia. Quindi non c'e' nessun salto.
Se applichi la definizione di Lipschitzianita' ti accorgi subito che la risposta giusta e' la prima e, di conseguenza, le altre due non possono essere vere, visto che lipschitzianita' implica continuita'.
Grazie Valerio, almeno tu mi sei stato di aiuto anzichè prendere in giro. Non capisco bene la "nuova topologia"..proverò a sforzarmi!
la nuova topologia e' appunto quella discreta. Credo che sia un esercizio che hai gia' fatto quello di dimostrare che tutte le funzioni con dominio uno spazio topologico discreto sono continue (basta applicare la definizione -- quali sono gli aperti nella topologia discreta?).
"andreabs85":
Non capisco bene la "nuova topologia"..proverò a sforzarmi!
Visto che l'hai introdotta tu, secondo me con un adeguato sforzo potresti arrivarci.
Sogni d'oro da [size=85]Colui che prende in giro[/size]
Non l'ho mai fatto un esercizio del genere a dire il vero! Faccio Ingegneria Civile al secondo anno e questa è analisi 2...già la nostra è un pò più completa di quella di altri corsi perchè il nostro prof la vuole fare in questo modo, tuttavia è sempre un'analisi fatta a ingegneri e non a matematici! Abbiamo fatto poco sugli spazi metrici, e questo era un tema esame del 2002/2003; c'erano anche altri argomenti che noi non abbiamo visto, quindi magari anche questa cosa è normale che mi sfugga. Comunque vorrei capire: la definizione di continuità io la so, ma non ho capito se per gli spazi discreti è diversa o rimane la stessa!? Mi faresti un esempio per favore?
In questo caso basta googlare: una funzione fra due spazi metrici $f:(X,d_X)\rightarrow(Y,d_Y)$ e' detta continua se per ogni $x\in X$ e per ogni $\varepsilon>0$, esiste $\delta_\varepsilon>0$ tale che $f(B(x,\delta_\varepsilon))\subset B(f(x),\varepsilon)$.
P.s. $B(p,r)$ denote la palla aperta di centro $p$ e raggio $r$.
Se provi a usare come $d_X$ la metrica discreta, ti dovresti accorgere in due secondi che tutte le funzioni sono continue.
In piu', tornando all'esercizio originario, da questa definizione ti accorgi subito che la tua funzione $d(\cdot,x_0)$ e' sempre continua.
P.s. $B(p,r)$ denote la palla aperta di centro $p$ e raggio $r$.
Se provi a usare come $d_X$ la metrica discreta, ti dovresti accorgere in due secondi che tutte le funzioni sono continue.
In piu', tornando all'esercizio originario, da questa definizione ti accorgi subito che la tua funzione $d(\cdot,x_0)$ e' sempre continua.
Allora, dimmi se è corretto.
Io ho una funzione definita così $f=d(x,L)$. Ho chiamato $L$ quello che era $x_0$ per non confondermi con la definizione (e perchè tanto sarebbe un numero fissato).
Riutilizzando i tuoi spazi metrici, per la definizione avrei che:
$ \forall \epsilon >0$ $ \exists \delta>0$ tale che$ \forall x\in X$ con $ d_x (x,x_0)<\delta$ allora $ d_y (f(x),f(x_0))<\epsilon$
Usando la definizione avrei:
$ \forall x\in X$ con $ d_x (x,x_0)<\delta$ allora $ d_y (f(x),f(x_0))<\epsilon$
cioè sostituendo
$ \forall x\in X$ con $ d_x (x,x_0)<\delta$ allora $ d_y (d(x,L),d(x_0,L))<\epsilon$
So che $d_x$ è la distanza discreta che mi da $1$ se $x!=x_0$ e mi da $0$ se $x=x_0$; quindi divido i casi:
1) $x=x_0$
$d_x(x,x_0)=0$ che è certamente minore di un qualsiasi $\delta$ maggiore di zero; proseguendo nella definizione suddivido ancora:
1a) $x=L$
$d_y(d(x,L),d(x_0,L))=d_y(0,0)=0$ che è minore di un qualsiasi $\epsilon$ maggiore di zero.
1b) $x!=L$ e vale come sopra.
2) $x!=x_0$
$d_x(x,x_0)=1$ e quindi dovrei avere $\delta>1$;
2a) $x=L$
$d_y(d(x,L),d(x_0,L))=d_y(0,1)=1$(Per semplicità assumo $d_y$ come la distanza euclidea) quindi dovrei avere $\epsilon>1$; ma così facendo non varrebbe più la condizione $\forall \epsilon >0$! (quindi altro dubbio);
2b)$x_0=L$
$d_y(d(x,L),d(x_0,L))=d_y(1,0)=1$ (come sopra)
2c) $x!=L$ e $x_0!=L$
$d_y(d(x,L),d(x_0,L))=d_y(1,1)=0$ e in questo caso mi andrebbe bene $\forall\epsilon>0$.
Questo è applicando la definizione, ma non va bene a quanto pare. Mi potete dire dove sbaglio?
Io ho una funzione definita così $f=d(x,L)$. Ho chiamato $L$ quello che era $x_0$ per non confondermi con la definizione (e perchè tanto sarebbe un numero fissato).
Riutilizzando i tuoi spazi metrici, per la definizione avrei che:
$ \forall \epsilon >0$ $ \exists \delta>0$ tale che$ \forall x\in X$ con $ d_x (x,x_0)<\delta$ allora $ d_y (f(x),f(x_0))<\epsilon$
Usando la definizione avrei:
$ \forall x\in X$ con $ d_x (x,x_0)<\delta$ allora $ d_y (f(x),f(x_0))<\epsilon$
cioè sostituendo
$ \forall x\in X$ con $ d_x (x,x_0)<\delta$ allora $ d_y (d(x,L),d(x_0,L))<\epsilon$
So che $d_x$ è la distanza discreta che mi da $1$ se $x!=x_0$ e mi da $0$ se $x=x_0$; quindi divido i casi:
1) $x=x_0$
$d_x(x,x_0)=0$ che è certamente minore di un qualsiasi $\delta$ maggiore di zero; proseguendo nella definizione suddivido ancora:
1a) $x=L$
$d_y(d(x,L),d(x_0,L))=d_y(0,0)=0$ che è minore di un qualsiasi $\epsilon$ maggiore di zero.
1b) $x!=L$ e vale come sopra.
2) $x!=x_0$
$d_x(x,x_0)=1$ e quindi dovrei avere $\delta>1$;
2a) $x=L$
$d_y(d(x,L),d(x_0,L))=d_y(0,1)=1$(Per semplicità assumo $d_y$ come la distanza euclidea) quindi dovrei avere $\epsilon>1$; ma così facendo non varrebbe più la condizione $\forall \epsilon >0$! (quindi altro dubbio);
2b)$x_0=L$
$d_y(d(x,L),d(x_0,L))=d_y(1,0)=1$ (come sopra)
2c) $x!=L$ e $x_0!=L$
$d_y(d(x,L),d(x_0,L))=d_y(1,1)=0$ e in questo caso mi andrebbe bene $\forall\epsilon>0$.
Questo è applicando la definizione, ma non va bene a quanto pare. Mi potete dire dove sbaglio?
Che la \(f\) sia globalmente lipschitziana è conseguenza immediata della disuguaglianza triangolare inversa, i.e.:
\[
|d(x,z)-d(z,y)|\leq d(x,y)\; .
\]
Infatti, prendendo \(z=x_0\), per ogni \(x\neq y \in X\) si ha:
\[
|f(x)-f(y)|=|d(x,x_0)-d(y,x_0)|\leq d(x,y)\; .
\]
Inoltre, la costante \(1\) è la migliore costante di Lipschitz, perché scegliendo \(y=x_0\) si verifica l'uguaglianza.
\[
|d(x,z)-d(z,y)|\leq d(x,y)\; .
\]
Infatti, prendendo \(z=x_0\), per ogni \(x\neq y \in X\) si ha:
\[
|f(x)-f(y)|=|d(x,x_0)-d(y,x_0)|\leq d(x,y)\; .
\]
Inoltre, la costante \(1\) è la migliore costante di Lipschitz, perché scegliendo \(y=x_0\) si verifica l'uguaglianza.
"gugo82":
Che la \(f\) sia globalmente lipschitziana è conseguenza immediata della disuguaglianza triangolare inversa, i.e.:
\[
|d(x,z)-d(z,y)|\leq d(x,y)\; .
\]
Infatti, prendendo \(z=x_0\), per ogni \(x\neq y \in X\) si ha:
\[
|f(x)-f(y)|=|d(x,x_0)-d(y,x_0)|\leq d(x,y)\; .
\]
Inoltre, la costante \(1\) è la migliore costante di Lipschitz, perché scegliendo \(y=x_0\) si verifica l'uguaglianza.
Hai ragione..che stupido! Comunque non capisco lo stesso nella definizione di continuità cosa sbaglio.
Mi dici bene dove controllare, che non ho seguito troppo il thread.
a colpo d'occhio mi pare che stai mischiando le due topologie (quella euclidea e quella discreta).
Per ogni $\epsilon$, basta scegliere $\delta_\epsilon<1$. In tal caso la palla di centro un qualunque $x$ e raggio $\delta_\epsilon$ contiene solo $x$ e quindi la sua immagine e' certamente contenuta nella palla di centro $f(x)$ e raggio $\epsilon$ (essendo, tale immagine, uguale solo al punto $f(x)$).
Questo, come vedi, dimostra che OGNI funzione avente dominio un spazio munito della metrica discreta e' continua; in particolare lo e' la tua.
Per ogni $\epsilon$, basta scegliere $\delta_\epsilon<1$. In tal caso la palla di centro un qualunque $x$ e raggio $\delta_\epsilon$ contiene solo $x$ e quindi la sua immagine e' certamente contenuta nella palla di centro $f(x)$ e raggio $\epsilon$ (essendo, tale immagine, uguale solo al punto $f(x)$).
Questo, come vedi, dimostra che OGNI funzione avente dominio un spazio munito della metrica discreta e' continua; in particolare lo e' la tua.
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