Spazi metrici

[leev]

Ciao

mi dareste una mano con questo esercizio:

Siano (X1,d1) e (X2,d2) degli spazi metrici omeomorfi (cioè: tali ke esiste un applicazione F: X1 -> X2 , biiettiva e f,f^(-1) continue).

Dovrei verificare ke se (X1,d1) verifica certe proprietà, allora vale anche per l'altra metrica.

Per esempio: (X1,d1) è compatto; questo non è vero credo, visto che, considerando X1=IR e X2=]-1,1[ , abbiamo la successione xn=1-1/n che tende verso 1. (=> non compatto)
In questo caso però non so se è necessario provare ke X1 e X2 sono veramente omeomorfi...(ho letto che gli spazi aperti sono omeoomrfi tra loro......ma si può anche mostrare facilmente?)

Dovrei inoltre verificare le proprietà: connesso e completo

thanks!

L.L

[Sk_Anonymous]

Se uno spazio metrico e' compatto, allora ogni suo omeomorfo lo e', cosi' come per la connessione. Non capisco poi il tuo esempio con R e (-1,1).

Luca Lussardi
http://www.llussardi.it

[leev]

no mi sa ke mi son confuso lì...
se xn=1-1/n è una successione di Cauchy, allora si può utilizzare per mostrare che, R completo, ma ]-1,1[ non è completo.

Per provare che col compatto funziona ho utilizzato una proprietà delle funzioni continue...anche se x il limitato non mi quadra troppo...

vabbé
thx
ciao

L.L

[Sk_Anonymous]

L'immagine di un compatto attraverso una funzione continua e' ancora compatto. Stessa cosa per un connesso. Quindi con questo dimostri che se due spazi metrici sono omeomorfi, allora il primo e' compatto se e solo se il secondo lo e', e idem per la connessione.

Luca Lussardi
http://www.llussardi.it