Spazi Metrici
Salve, il mio libro dice:
< Un insieme limitato è un insieme che ammette maggiorante e minorante nel campo (es:$RR$), ordinato, in cui è immerso. Sembrerebbe dunque che la nozione di insieme limitato dipenda dall'ordinamento di $RR$ e dunque non si estenda a generici spazi metrici. In realtà quello che non si estende è la definizione di insieme limitato superiormente o inferiormente; invece gli insiemi limitato hanno senso anche in spazi metrici generali>.
Non riesco a capire per quale motivo viene introdotta la parola "sembrerebbe" come se fosse conseguenza di una qualche osservazione esplicitata (anche se effettivamente non ne vedo alcuna o forse non l' ho colta).
Il mio libro infatti poco prima della suddetta citazione fa un esempio su una metrica insolita: quella discreta: $d(x,y)= { 0<=>x=y,1 <=>x!=y } $. Quindi a seconda che si prenda un intorno di raggio $R<=1$ o $R>1$ si hanno rispettivamente i seguenti casi $I(x,R)={x}$ o $I(x,R)=X$ ove $X$ è un insieme. In particolare se $I(x,R)={x}$ gli insiemi discreti così definiti sono sia chiusi che aperti.
Qualcuno riuscirebbe a dirmi se le due cose hanno una qualche affinità? A me viene da dire che se $R>1$ e cioè $I(x,R)=X$ l' insieme $X$ può non essere limitato ma lo è come spazio metrico dato che $(X,d)subeI(x,R>1)$. Non ho capito però cosa possa entrarci l' ordinamento!. Grazie
< Un insieme limitato è un insieme che ammette maggiorante e minorante nel campo (es:$RR$), ordinato, in cui è immerso. Sembrerebbe dunque che la nozione di insieme limitato dipenda dall'ordinamento di $RR$ e dunque non si estenda a generici spazi metrici. In realtà quello che non si estende è la definizione di insieme limitato superiormente o inferiormente; invece gli insiemi limitato hanno senso anche in spazi metrici generali>.
Non riesco a capire per quale motivo viene introdotta la parola "sembrerebbe" come se fosse conseguenza di una qualche osservazione esplicitata (anche se effettivamente non ne vedo alcuna o forse non l' ho colta).
Il mio libro infatti poco prima della suddetta citazione fa un esempio su una metrica insolita: quella discreta: $d(x,y)= { 0<=>x=y,1 <=>x!=y } $. Quindi a seconda che si prenda un intorno di raggio $R<=1$ o $R>1$ si hanno rispettivamente i seguenti casi $I(x,R)={x}$ o $I(x,R)=X$ ove $X$ è un insieme. In particolare se $I(x,R)={x}$ gli insiemi discreti così definiti sono sia chiusi che aperti.
Qualcuno riuscirebbe a dirmi se le due cose hanno una qualche affinità? A me viene da dire che se $R>1$ e cioè $I(x,R)=X$ l' insieme $X$ può non essere limitato ma lo è come spazio metrico dato che $(X,d)subeI(x,R>1)$. Non ho capito però cosa possa entrarci l' ordinamento!. Grazie
Risposte
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"Boomerang":che libro é? Buttalo ...
il mio libro dice:
< Un insieme limitato è un insieme che ammette maggiorante e minorante nel campo (es:$ RR $), ordinato, in cui è immerso. Sembrerebbe dunque che la nozione di insieme limitato dipenda dall'ordinamento di $ RR $ e dunque non si estenda a generici spazi metrici. In realtà quello che non si estende è la definizione di insieme limitato superiormente o inferiormente; invece gli insiemi limitato hanno senso anche in spazi metrici generali>.
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Il tuo libro vuole introdurre il concetto di limitato per dei campi ordinati, poi per gli spazi metrici ma non e' possibile dare la definizione di "limitato superiormente" o "limitato inferiormente" in un generico spazio metrico in quanto quest'ultimo non e' necessariamente ordinato e quindi non si puo' calcolare sup e inf di un sottoinsieme. A causa di questa impossibilita' sembrerebbe che quindi in uno spazio metrico non si possa parlare di insiemi limitati. Invece si puo' fare perche' negli spazi metrici si puo' dare una definizione di limitatezza indipendente dal sup et inf:
Def Sia (X,d) spazio metrico, $ E subeX $. Diciamo che E e' limitato se esistono $ x_0inX $ et $ r>0 $ tali che $ E sube U_(r_0)(x_0) $
Certo che la chiarezza e un percorso logico sensato non sono i punti forti di questo libro...
Def Sia (X,d) spazio metrico, $ E subeX $. Diciamo che E e' limitato se esistono $ x_0inX $ et $ r>0 $ tali che $ E sube U_(r_0)(x_0) $
Certo che la chiarezza e un percorso logico sensato non sono i punti forti di questo libro...
Credo di aver capito! Innanzitutto ti ringrazio per la risposta. In secondo luogo ti chiedo se quello che stai intendendo è(faccio riferimento alla metrica citata prima in esempio): Ho il mio insieme $X$ esso ammette estremo sup e estremo inf (possiamo supporre che siano (-inf,+inf). Si dovrebbero avere questi come estremanti dello spazio metrico $(X,d_d)$ con $d_d$ indico la metrica discreta che avevo definito nell'esempio sopra;e dunque dovrebbe risultare anche $(X,d_d)$ di raggio illimitato. Eppure un insieme grande a piacere come $X=RR$ entra anche in una palla metrica con r=2 fissato,essendo stata, la distanza discreta $d_d$, definita in quel modo. Quindi lo spazio metrico non rispetta l' ordinamento ma in ogni caso è limitato! Spero che tu intenda questo.
Il punto e' che a parte l'aggettivo "limitato" che compare in entrambe le definizioni, sia quella che sfrutta la relazione d'ordine sia quella che usa la metrica, le due strutture, quella d'ordine e di spazio metrico sono due approcci per definire l'idea intuitiva di limitato completamente diversi.
OK, afferrato!
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