Spazi L^p

[Gruppia]

Ciao!
E' giusto dire che C([ $ RR ^(n) $ , $ RR $] ) $ sub $ $ L^(2) ($ $ RR ^(n) $) , cioè che le funzioni continue su $ RR ^(n) $ sono anche in $ L^(2) $ ($ RR ^(n) $ )?
Perchè il massimo che io conosco è un teorema di densità che mi dice che l'insieme delle funzioni continue a supporto compatto su $ RR ^(n) $ è denso in $ L^(p) $ ($ RR ^(n) $ ), con 1 $ \leq $ p $ < $ $ oo $ .

Grazie!

[ciampax]

Domanda: la funzione $f(x_1,...,x_n)=x_1$ è continua? Ed è $L^2(RR^n)$?

[Gruppia]

E' continua, ma non so dire se è in $ (L)^(2) $ ........

[Dragon God]

Una funzione appartenente in L^1 ed Linfinito appartiene a tutti gli spazi intrinseci,quindi anche L^2.
Questo perchè è lo spazio delle funzioni sommabili,e sappiamo che per ogni R^n,la convergenza della norma è uguale se è finita all'infinito(cioè è convergente per Linfinito) e se è finita per L=1)

[ciampax]

Per dire se è $L^2(RR^n)$ dovresti calcolare

$\int_{RR^n}|f(x_1,...,x_n)|^2\ dV$

e verificare che esso sia finito. Ma in questo caso....

[Dragon God]

In ogni caso ti consiglio questa dispensa:http://dm.ing.unibs.it/~riccarda.rossi/Teaching/ESERCIZI_metodi/Lp.pdf

[dissonance]

"Dragon God":Una funzione appartenente in L^1 ed Linfinito appartiene a tutti gli spazi intrinseci,quindi anche L^2.
Questo perchè è lo spazio delle funzioni sommabili,e sappiamo che per ogni R^n,la convergenza della norma è uguale se è finita all'infinito(cioè è convergente per Linfinito) e se è finita per L=1)

???
Senza senso. E' vero che una funzione di classe \(L^1\) ed \(L^\infty\) è anche di classe \(L^p\) per ogni \(p\), ma tutto il resto di questo post non significa assolutamente nulla.

[ciampax]

Senti a me che forse voleva far riferimento a qualche teorema di interpolazione.

[Gruppia]

Però i polinomi trigonometrici di grado $ \leq n $ sono in $ L^(2) $ ?