Spazi $L^p$

[dustofstar]

Ciao a tutti.. Non riesco a capire come risolvere questo esercizio.. Devo dimostrare che
dato I intervallo di R $L^p(I) != L^ q (I) $ se $p!=q$

Il suggerimento del professore è quello di considerare una funzione $f(x)=x^(-1/r)$ con $p
Uff.. mi aiutate un pò a capire??

[dissonance]

Intanto decidi quale intervallo vuoi considerare. Essenzialmente hai due scelte: un intervallo limitato oppure un intervallo non limitato, è questa l'unica proprietà degli intervalli che differenzia i relativi spazi $L^p$. In particolare osserva che è assolutamente ininfluente scegliere intervalli aperti, chiusi, né aperti né chiusi (Perché?).

Io direi che ti conviene, per fissare le idee, prendere nel primo caso l'intervallo $[0, 1]$ e nel secondo caso l'intervallo $[1, \infty)$. Cominciamo dal primo caso. Dalla teoria dovresti sapere che, essendo $[0, 1]$ un insieme di misura finita, sussistono delle precise inclusioni tra gli spazi $L^p [0, 1]$: se $p
Comincia ad escludere il caso $p < \infty, q=\infty$ che è il più semplice. Devi trovare una funzione $p$-sommabile in $[0, 1]$ che non sia essenzialmente limitata. Ricordati delle funzioni "integrabili in senso improprio" che hai certamente studiato in precedenza. $1/(x^2)$, ad esempio, è integrabile (in senso improprio, ma nell'ambito dell'integrale di Lebesgue non devi usare più questa dicitura) nell'intervallo $[0, 1]$?

[dustofstar]

.. ehm.. mi mancherà qualche concetto.. ma nn riesco a capire come procedere..

[dissonance]

Prendi $1<=p<\infty, q = \infty$, e trova una funzione di questo tipo:
[asvg]xmin=0; xmax=1; ymin=0; ymax=100; axes(); plot("1/x");[/asvg]
che sia $p$-sommabile.

[dissonance]

Non ci riesci? Ricordati il criterio "degli infiniti" per stabilire se una data funzione è sommabile in un intorno dello $0$. Per quali valori di $alpha>0$ la funzione $1/(x^alpha)$ è sommabile in un intorno destro di $0$?

Risp.: $alpha < 1$.

Ora prendi $1<=p<\infty$. La funzione $1/(x^alpha)$ è $p$-sommabile se e solo se (per definizione) la funzione $[1/(x^alpha)]^p$ è sommabile.

Quindi, per quali valori di $alpha>0$ la funzione $1/(x^alpha)$ è $p$-sommabile in $[0, 1]$?

Risp.: $alpha < 1/p $. Nota che più $p$ è grande più la condizione su $alpha$ diventa restrittiva.

Se hai seguto questo ragionamento, hai trovato una funzione in $L^p [0, 1]$ ma non in $L^\infty [0, 1]$.

Ora prendi $1

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[dustofstar]

mi viene da pensare.. considerando un $1/q

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[dissonance]

"dustofstar":mi viene da pensare.. considerando un $1/qE' chiaro. Con questa scelta di $alpha$ la funzione $1/(x^alpha)$ è in $L^p[0, 1]$ ma non in $L^q[0, 1]$. Questo dimostra che per gli spazi $L^p[0, 1]$ sussistono le seguenti inclusioni:

[tex]p < q \Rightarrow L^q[0, 1] \subsetneq L^p[0, 1][/tex]

Questo stesso risultato vale per tutti gli intervalli limitati: dato un intervallo limitato $I$ puoi sempre ricondurti al caso $[0, 1]$ applicando opportunamente una traslazione e una omotetia.
_________________________________________________

Adesso bisogna considerare il caso degli intervalli non limitati. Conviene considerare l'intervallo $[1, \infty)$. Prima ti suggerivo di usare la disuguaglianza di Hoelder per mostrare l'inclusione $L^q [0, 1] \subset L^p[0, 1]$. Se l'hai fatto (e se non lo hai fatto, fallo adesso) ti sarai accorta che ti è indispensabile la misura finita dell'intervallo $[0, 1]$. Non è un caso visto che il risultato da dimostrare con l'intervallo $[1, \infty)$ è:

[tex]\forall\ 1 \le p, q \le \infty,\ p \ne q,\ \exists f \in L^p [1, \infty)\ \text{t.c.}\ f\notin L^q[1, \infty)[/tex]

[dustofstar]

.. e ora comincia ancora di più il complicato.. uff...

[dissonance]

Dimenticavo il suggerimento: la funzione $1/(x^alpha)$ è sommabile in $[1, \infty)$ se e solo se $alpha>1$.

[dustofstar]

... uff.. ho avuto problemi con internet e non riuscivo a rispondere.. allora...
uhm... in $[1,+oo[ $ mi basta considerare la stessa funzione che ho considerato prima.. no?

[dissonance]

Sì, ma...questo è proprio quello che dico nell'ultimo suggerimento. Qualche parola in più dovresti spenderla.

E poi c'è il caso $p<\infty, q=\infty$. Qui quelle funzioni non ti aiutano più perché sono tutte limitate in $[1, \infty )$.
Devi quindi trovare una funzione in $L^\infty$, ovvero (essenzialmente) limitata ma che non sia $p$-sommabile. E qui non ti do suggerimenti perché è veramente facile.

Vedi un po' che puoi fare. Mettici un po' di buona volontà in più, però. Come esercizio è pallosetto, siamo d'accordo, ma ti serve per capire bene che cosa sono gli spazi $L^p$, e ti avviso che sono tra gli spazi dell'analisi più importanti (se non addirittura i più importanti di tutti).