Spazi $L^p$

[pat871]

Salve!
posto qui perché abbiamo ragionato a lungo io e miei compagni a questo problema senza trovare nessuna soluzione...

Fissiamo $p \in [1, \infty)$.
Esiste una funzione $f$ per cui valga:
$f \in L^p(RR)$ \ $L^q(RR)$ , per tutte le $q \in [1, \infty)$ \ ${p}$.


Siamo riusciti a concludere che tale funzione NON esiste per $p > 1$. Il problema è per $p=1$. Esiste una funzione il cui valore assoluto è integrabile su $RR$ per cui il suo valore assoluto elevato ad una potenza $p >1$ non sia più integrabile?

Grazie mille!

[ViciousGoblin]

$f(x)=\frac{1}{x|\ln(x)|^a}$ con $a>1$, messa zero per $|x|\geq1/2$

[alberto861]

dunque dovrebbe essere una generalizzalione del fatto che dati $a_i \in C$ si ha che $\sum_{i=1}^n|a_1|^p <(\sum_{i=1}^n|a_1|)^p$..passando alle somme integrali si ha che se $f \in L^1$ allora $\int_R |f|^p <(\int_R |f|)^p=(||f||_1)<\infty$ quindi se una funzione sta in $L^1$ allora sta in $L^p \forall p$..cmq è più facile dimostrare questo che non il fatto che se $p

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[ViciousGoblin]

"alberto86":dunque dovrebbe essere una generalizzalione del fatto che dati $a_i \in C$ si ha che $\sum_{i=1}^n|a_1|^p <(\sum_{i=1}^n|a_1|)^p$..passando alle somme integrali si ha che se $f \in L^1$ allora $\int_R |f|^p <(\int_R |f|)^p=(||f||_1)<\infty$ quindi se una funzione sta in $L^1$ allora sta in $L^p \forall p$..cmq è più facile dimostrare questo che non il fatto che se $p

Guarda che non c'è nessuna inclusione tra $L^p(RR)$ e $L^q(RR)$ per $p\ne q$.
Il caso delle serie è un po' speciale perché $l^\infty\subset l^1$ (se una serie converge il suo termine generale tende a zero, dunque è limitato) e quindi $l^p\subset l^1$ per ogni $p$

Vale invece $L^p(E)\subset L^q(E)$ per $q\geq p$ ne caso in cui $E$ abbia misura finita (applicando Hoelder).

[gugo82]

"ViciousGoblinEnters":Il caso delle serie è un po' speciale perché $l^\infty\subset l^1$ (se una serie converge il suo termine generale tende a zero, dunque è limitato) e quindi $l^p\subset l^1$ per ogni $p$

Beh, in verità sarebbe $l^1 subset l^oo$...

"ViciousGoblinEnters":Vale invece $L^p(E)\subset L^q(E)$ per $q\geq p$ ne caso in cui $E$ abbia misura finita (applicando Hoelder).

Ci sono anche altre relazioni d'inclusione tra gli spazi $L^p$.
Ad esempio comunque si scelga lo spazio di misura $(X, ccM, mu)$ si ha:

1) $quad AA r le p le s in ]0,+oo[, quad L^r(mu) cap L^s(mu) subseteq L^p(mu)$

2) $quad AA rle p in ]0,+oo[, quad L^r(mu) cap L^oo(mu) subseteq L^p(mu) quad$ (questa è accorpabile alla precedente: basterebbe chiudere superiormente l'intervallo di variazione degli esponenti in 1).

[pat871]

"ViciousGoblinEnters":$f(x)=\frac{1}{x|\ln(x)|^a}$ con $a>1$, messa zero per $|x|\geq1/2$

Non ho capito..."messa zero per $|x| \ge 1/2$"?
Puoi spiegarti meglio?


Gugo82: secondo te utilizzando quelle proprietà che hai detto te è possibile dire qualcosa in risposta al mio problema?

Siete d'accordo con me che il problema è ridotto soltanto al caso $p=1$?

[ViciousGoblin]

Non ho capito..."messa zero per...

L'ho messa a zero fuori dal disco di raggio $1/2$ in modo che contasse solo il comportamento in zero.

Ti faccio tutti i conti.
Definisci $f(x)=\frac{1}{x|ln(x)|^a$ se $-\frac{1}{2}\leq x\leq \frac{1}{2}$ (in zero se vuoi mettila zero), mentre $f(x)=0$ se $x>\frac{1}{2}$ o se $x<-\frac{1}{2}$.
Allora $\int_{RR}|f(x)|dx=2\int_0^{1/2}\frac{1}{x|\ln(x)|^a}dx=$ (usando la sostituzione $y=-\ln(x)$)
$\int_{\ln(2)}^{+\infty}\frac{1}{y^a}dy<+\infty $ se $a>1$. Dunque $f$ è in $L^1$ per tali $a$.

Però se prendi $p>1$ trovi
$\lim_{x\to 0}|x||f(x)|^p= \lim_{x\to 0}\frac{1}{|x|^{p-1}|ln(x)|^{ap}}=+\infty$
per cui vicino a zero
$|f(x)|^p\geq\frac{1}{|x|}$
e quindi $f$ non è in $L^p$ (visto che $\frac{1}{|x|}$ non è integrabile vicino a zero).

Nota che con la stessa idea, dato un qualunque $p_0$ puoi trovare una funzione $f$ tale che $f\in L^{p_0}$,
ma $f\notin L^p$ per ogni $p>p_0$ - a occhio $f(x)=\frac{1}{|x|^{1/p_0}|ln(x)|^a}$ se $a>1/p_0$ (per x vicino a zero, poi metti tutto a zero).

Invece se sai hai $1\leq p_1\leq p_2\leq+\infty$ e $f\in L^{p_1}\cap L^{p_2}$ necessariamente $f\in L^p$ per ogni $p$ tra $p_1$ e $p_2$ (lo vedi con Hoelder ed è una delle
proprietà che ha detto Gugo82). Dunque la tua prima affermazione è corretta, un funzione non può essere in tutti gli $L^p$ tranne $p_0$ con $p_0>1$.

Spero di essere stato chiaro (e di non avere sbagliato qualche inclusione/disuguaglianza.... help gugo82 )

[pat871]

OK ho capito tutto! Grazie mille!!!

[gugo82]

Scusa VGE, ma $|log x|$ non è definita solo per $x>0$? Tendo a credere che tu volessi scrivere $log|x|$, o sbaglio?

[ViciousGoblin]

"Gugo82":Scusa VGE, ma $|log x|$ non è definita solo per $x>0$? Tendo a credere che tu volessi scrivere $log|x|$, o sbaglio?

come sempre hai ragione, ci voleva un modulo anche dentro il logaritmo... Scusate