Spazi L^p
Ciao,
avrei una domanda sugli spazi \(\displaystyle L^p \) . Esiste una funzione che appartiene ad uno spazio \(\displaystyle L^p \) ma che non appartiene a nessun altro spazio \(\displaystyle L^q \) con \(\displaystyle q \neq p \) ?
Grazie a chi mi darà una mano
avrei una domanda sugli spazi \(\displaystyle L^p \) . Esiste una funzione che appartiene ad uno spazio \(\displaystyle L^p \) ma che non appartiene a nessun altro spazio \(\displaystyle L^q \) con \(\displaystyle q \neq p \) ?
Grazie a chi mi darà una mano
Risposte
Credo che la risposta dipenda anche dal dominio della funzione, nel senso che gli spazi \(L^p(A)\) hanno in genere proprietà diverse (soprattutto in questo caso) se \(A\) è limitato o è tutto \(\mathbb R\) (o \(\mathbb R^n\) e varianti).
"Ad occhio", sul dominio $]0,\infty[$ e per $p=2$ (credo che la generalizzazione al caso "$p$ qualsiasi" sia abbastanza facile) l'esempio lo puoi costruire così.
Scegli due funzioni, per comodità continue e positive, una $f_0$ definita in $]0,1]$ e l'altra $f_\infty$ definita in $[1,\infty[$, che "accumulino massa" la prima intorno a $0$ (con un bell'asintoto verticale) e l'altra intorno a $\infty$ (con un bell'asintoto orizzontale) in modo che $f_0$ stia in $L^q (0,1)$ per $q\leq 2$ e che $f_\infty$ stia in $L^q(1,\infty)$ per $q\geq 2$.
La funzione $f=f_0\cdot \chi_{(0,1)} + f_\infty\cdot \chi_{(1,\infty)}$ (qui $\chi_E$ è la funzione caratteristica di $E$) sta in $L^2(0,\infty)$, ma non può stare in alcun altro $L^q (0,\infty)$.
Prova e vedi cosa ne viene fuori.
Scegli due funzioni, per comodità continue e positive, una $f_0$ definita in $]0,1]$ e l'altra $f_\infty$ definita in $[1,\infty[$, che "accumulino massa" la prima intorno a $0$ (con un bell'asintoto verticale) e l'altra intorno a $\infty$ (con un bell'asintoto orizzontale) in modo che $f_0$ stia in $L^q (0,1)$ per $q\leq 2$ e che $f_\infty$ stia in $L^q(1,\infty)$ per $q\geq 2$.
La funzione $f=f_0\cdot \chi_{(0,1)} + f_\infty\cdot \chi_{(1,\infty)}$ (qui $\chi_E$ è la funzione caratteristica di $E$) sta in $L^2(0,\infty)$, ma non può stare in alcun altro $L^q (0,\infty)$.
Prova e vedi cosa ne viene fuori.
"gugo82":
Scegli due funzioni, per comodità continue e positive, una $ f_0 $ definita in $ ]0,1] $ e l'altra $ f_\infty $ definita in $ [1,\infty[ $, che "accumulino massa" la prima intorno a $ 0 $ (con un bell'asintoto verticale) e l'altra intorno a $ \infty $ (con un bell'asintoto orizzontale) in modo che $ f_0 $ stia in $ L^q (0,1) $ per $ q\leq 2 $ e che $ f_\infty $ stia in $ L^q(1,\infty) $ per $ q\geq 2 $.
La funzione $ f=f_0\cdot \chi_{(0,1)} + f_\infty\cdot \chi_{(1,\infty)} $ (qui $ \chi_E $ è la funzione caratteristica di $ E $) sta in $ L^2(0,\infty) $, ma non può stare in alcun altro $ L^q (0,\infty) $.
Grazie mille per l'aiuto! Non mi è chiara una cosa: cosa intendi per "che accumulino massa"?
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