Spazi L^p
Buongiorno! Mi potreste aiutare nell'impostazione e nel procedimento del seguente esercizio?
$(a)$ "Verificare che la seguente successione converge quasi ovunque in $RR$
$f_n(x)=n^(1/3)e^((-n^2)|x-3|), n=1,2,...$
Vedere inoltre per quali dei valori $p=1,2,infty$ essa converge in $L^P(RR)$".
Di esercizi simili so svolgere il seguente tipo:
$(b)$ "Verificare che la successione $f_n(x)=n^(-2/3) chi_([0,n]), n=1,2,...$ converge quasi ovunque in $RR$.
Vedere inoltre per quali dei valori $p=1,2,infty$ essa converge in $L^P(RR)$".
Quest'ultimo lo imposto come segue:
$(b)$
$f_n(x)={(n^(-2/3), [0,n]),(0, RR-[0,n]):}$
$lim_{n \to \infty}n^(-2/3)=0$ $=>$ $f_n(x)$ converge quasi ovunque ad $f(x)=0$ in $RR$.
$p=1$
$f_n(x)-f(x)in L^1(RR)<=>||f_n(x)-f(x)||<+infty$ $=>$ $int_{-infty}^{+infty} |f_n(x)-f(x)| dx=...=n^(1/3)$
$lim_{n \to \infty}n^(1/3)=+infty$, non converge in $L^1(RR)$.
In maniera analoga procedo per $p=2,infty$ ed ottengo per $p=2$ converge in $L^2(RR)$ e per $p=infty$ converge in $L^infty(RR)$ . Pertanto qual è la differenza di procedimento tra i due esercizi $(a)$ e $(b)$?
Grazie anticipatamente a chi potrà gentilmente darmi una mano!
$(a)$ "Verificare che la seguente successione converge quasi ovunque in $RR$
$f_n(x)=n^(1/3)e^((-n^2)|x-3|), n=1,2,...$
Vedere inoltre per quali dei valori $p=1,2,infty$ essa converge in $L^P(RR)$".
Di esercizi simili so svolgere il seguente tipo:
$(b)$ "Verificare che la successione $f_n(x)=n^(-2/3) chi_([0,n]), n=1,2,...$ converge quasi ovunque in $RR$.
Vedere inoltre per quali dei valori $p=1,2,infty$ essa converge in $L^P(RR)$".
Quest'ultimo lo imposto come segue:
$(b)$
$f_n(x)={(n^(-2/3), [0,n]),(0, RR-[0,n]):}$
$lim_{n \to \infty}n^(-2/3)=0$ $=>$ $f_n(x)$ converge quasi ovunque ad $f(x)=0$ in $RR$.
$p=1$
$f_n(x)-f(x)in L^1(RR)<=>||f_n(x)-f(x)||<+infty$ $=>$ $int_{-infty}^{+infty} |f_n(x)-f(x)| dx=...=n^(1/3)$
$lim_{n \to \infty}n^(1/3)=+infty$, non converge in $L^1(RR)$.
In maniera analoga procedo per $p=2,infty$ ed ottengo per $p=2$ converge in $L^2(RR)$ e per $p=infty$ converge in $L^infty(RR)$ . Pertanto qual è la differenza di procedimento tra i due esercizi $(a)$ e $(b)$?
Grazie anticipatamente a chi potrà gentilmente darmi una mano!
Risposte
Beh, nessuna differenza.
Ok. Ma il primo come devo impostarlo? Cioè devo fare sempre il limite della $f_n(x)$ per vedere dove converge quasi ovunque la $f(x)$ in $RR$? E poi per quanto riguarda i punti $p=1,2,infty$ come devo impostare gli integrali per vedere la convergenza negli spazi interessati?
"Lord Rubik":
Ok. Ma il primo come devo impostarlo? Cioè devo fare sempre il limite della $f_n(x)$ per vedere dove converge quasi ovunque la $f(x)$ in $RR$?
Certo.
"Lord Rubik":
E poi per quanto riguarda i punti $p=1,2,infty$ come devo impostare gli integrali per vedere la convergenza negli spazi interessati?
Gli integrali o li calcoli esplicitamente o provi che in qualche modo vanno a zero... Si tratta di vedere cosa viene fuori esplicitamente, perché così non è che si possa dire molto.
Prova a fare due conti.
In pratica il problema che ho nel risolvere questo esercizio è il seguente:
Una volta trovato il limite, in questo esercizio a differenza del secondo, non ho l'intervallo in cui poi andrò a spezzare l'integrale e vedere la convergenza nei vari spazi.
Praticamente ho fatto questi calcoli per quanto riguarda $(b)$:
$f_n(x)-f(x)in L^1(RR)<=>||f_n(x)-f(x)||<+infty$ $=>$ $int_{-infty}^{+infty} |f_n(x)-f(x)|dx= int_{-infty}^{+infty}|n^(-2/3)-0|dx=int_{-infty}^{0} 0dx + int_{0}^{n}n^(-2/3)dx + int_{n}^{+infty} 0dx=n^(-2/3)n=n^(1/3)$, per $p=1$.
Ecco perché non so proprio come andare avanti...
Inoltre il limite di $f_n(x)$ è condizionato da $|x-3|$?
Una volta trovato il limite, in questo esercizio a differenza del secondo, non ho l'intervallo in cui poi andrò a spezzare l'integrale e vedere la convergenza nei vari spazi.
Praticamente ho fatto questi calcoli per quanto riguarda $(b)$:
$f_n(x)-f(x)in L^1(RR)<=>||f_n(x)-f(x)||<+infty$ $=>$ $int_{-infty}^{+infty} |f_n(x)-f(x)|dx= int_{-infty}^{+infty}|n^(-2/3)-0|dx=int_{-infty}^{0} 0dx + int_{0}^{n}n^(-2/3)dx + int_{n}^{+infty} 0dx=n^(-2/3)n=n^(1/3)$, per $p=1$.
Ecco perché non so proprio come andare avanti...
Inoltre il limite di $f_n(x)$ è condizionato da $|x-3|$?
Qual è il limite puntuale q.o.?
Sono contarielli da Analisi I... Quanto vale il \(\lim_n \sqrt[3]{n}\ e^{-n^2 |x-3|}\)?
Sono contarielli da Analisi I... Quanto vale il \(\lim_n \sqrt[3]{n}\ e^{-n^2 |x-3|}\)?
Facendo due conti mi risulta che $lim_{n \to \infty}n^(1/3)e^((-n^2)|x-3|)=0$. Quindi converge q.o. ad $f(x)=0$ in $RR - {3}$ (in quest'ultimo ho scritto così perché ho visto che per x=3 il limite tende a $+infty$).
Avendo trovato il limite come imposto il resto?
(Correggimi se ho scritto qualche cretinata, ma ultimamente sto un po' nel pallone)
Avendo trovato il limite come imposto il resto?
(Correggimi se ho scritto qualche cretinata, ma ultimamente sto un po' nel pallone)
Hai stabilito che la tua successione converge puntualmente q.o. alla funzione q.o. nulla \(f(x)=0\).
Adesso per studiare la convergenza di \((f_n)\) in \(L^1\), \(L^2\) ed \(L^\infty\) devi fare la stessa cosa che facevi nell'altro esercizio, cioè devi esplicitamente fare i conti con le quantità:
\[
\begin{split}
\|f_n-f\|_1 &= \int_{-\infty}^{+\infty} |f_n(x)|\ \text{d} x \\
\|f_n-f\|_2 &= \sqrt{\int_{-\infty}^{+\infty} |f_n(x)|^2\ \text{d} x}\\
\|f_n-f\|_\infty &= \operatorname{esssup}_{x\in \mathbb{R}} |f_n(x)|
\end{split}
\]
e vedere quale di esse va a zero (se pure ce n'è qualcuna che lo fa!).
Le prime due norme si calcolano esplicitamente (è un esercizio di Analisi I), quindi tutto fila via liscio.
Per calcolare l'ultima norma, invece, tieni presente che le \(f_n\) sono positive e di classe \(C^\infty\), quindi lo \(\operatorname{esssup} |f_n|\) coincide col classico \(\sup f_n\), il quale si determina facendo un piccolo studio di funzione (di nuovo roba da Analisi I).
Adesso per studiare la convergenza di \((f_n)\) in \(L^1\), \(L^2\) ed \(L^\infty\) devi fare la stessa cosa che facevi nell'altro esercizio, cioè devi esplicitamente fare i conti con le quantità:
\[
\begin{split}
\|f_n-f\|_1 &= \int_{-\infty}^{+\infty} |f_n(x)|\ \text{d} x \\
\|f_n-f\|_2 &= \sqrt{\int_{-\infty}^{+\infty} |f_n(x)|^2\ \text{d} x}\\
\|f_n-f\|_\infty &= \operatorname{esssup}_{x\in \mathbb{R}} |f_n(x)|
\end{split}
\]
e vedere quale di esse va a zero (se pure ce n'è qualcuna che lo fa!).
Le prime due norme si calcolano esplicitamente (è un esercizio di Analisi I), quindi tutto fila via liscio.
Per calcolare l'ultima norma, invece, tieni presente che le \(f_n\) sono positive e di classe \(C^\infty\), quindi lo \(\operatorname{esssup} |f_n|\) coincide col classico \(\sup f_n\), il quale si determina facendo un piccolo studio di funzione (di nuovo roba da Analisi I).
Ah ok! Allora continuo con la risoluzione dell'esercizio! Grazie tantissimo per l'aiuto!
Ciao Gugo82.
Scusami ma non avevo proprio visto il tuo p.s. nel post dell'altro esercizio.
Comunque per quanto riguarda l'esercizio sopra esposto ho risolto $||f_n-f||_1$ ed $||f_n-f||_2$. Per quanto riguarda $||f_n-f||_infty$ non riesco ad andare avanti!
Per i primi due ho visto che entrambi convergono rispettivamente in $L^1(RR-{3})$ ed in $L^2(RR-{3})$.
Per il terzo non riesco a capire cosa devo fare (cioè non so come devo metterci mano)...
Scusami ma non avevo proprio visto il tuo p.s. nel post dell'altro esercizio.
Comunque per quanto riguarda l'esercizio sopra esposto ho risolto $||f_n-f||_1$ ed $||f_n-f||_2$. Per quanto riguarda $||f_n-f||_infty$ non riesco ad andare avanti!
Per i primi due ho visto che entrambi convergono rispettivamente in $L^1(RR-{3})$ ed in $L^2(RR-{3})$.
Per il terzo non riesco a capire cosa devo fare (cioè non so come devo metterci mano)...
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