Spazi $L^{\infty}$

[aram1]

Si ha il seguente risultato: in $L^{\infty}$ le successioni $f_n$ convergono se e solo se convergono uniformemente su $A\setminus D, \mu(D)=0$. Come può questo avvalorare il fatto che le funzioni continue a supporto compatto sono dense in $L^p$ ma non in $L^{\infty}$?

[gugo82]

Non capisco il senso della domanda...

[dissonance]

Anche questa tua domanda è espressa molto male, al limite dell'incomprensibile. Comunque mi pare di capire che vorresti stabilire perché lo spazio delle funzioni continue a supporto compatto, che è denso in \(L^p(A)\) (qui \(A\) è un aperto di \(\mathbb{R}^n\)) per \(1 \le p < \infty\), non è denso in \(L^{\infty}(A)\).

Ragiona per contraddizione. Se per assurdo tale sottospazio di \(L^{\infty}(A)\) fosse denso, in particolare esisterebbe una successione \(f_n\) di funzioni continue a supporto compatto tale che \(\lVert f_n-1\rVert_{\infty}\to 0\). Ma questo non è possibile, perché essendo ogni \(f_n\) a supporto compatto, esiste sempre qualche punto di \(A\) in cui essa si annulla e quindi \(1 \le \lVert f_n -1\rVert_{\infty}\) per ogni \(n\) (nota: quando le funzioni coinvolte sono continue, la norma \(\lVert \cdot \rVert_{\infty}\) è quella solita, non occorre considerare sottigliezze con "quasi ovunque"). Prendendo il limite per \(n \to \infty\) otteniamo la contraddizione \(1 \le 0\).

[gugo82]

Ma se \(A\) è uno spazio topologico compatto e di misura la tua intuizione non funziona, dissonance.

[aram1]

@dissonance: la domanda era quella che hai capito. Forse non era proprio ben formulata, ma chiedevo anche, oltre al fatto di perchè le funzioni continue a supporto compatto non siano dense in L infinito, se ciò potesse essere conseguenza del risultato che avevo scritto nel primo post. Comunque ho seguito il tuo ragionamento per assurdo e mi sembra che fili, anche se non ho capito perchè deve esistere qualche punto di A in cui $f_n$ si annulla. Grazie.

[_prime_number]

Perché le $f_n$ sono a supporto compatto, quindi supp$ f_n$ è un compatto propriamente contenuto in $A$.

@gugo82: hai qualche idea per il caso da te menzionato?

Paola

[dissonance]

"aram":@dissonance: la domanda era quella che hai capito. Forse non era proprio ben formulata, ma chiedevo anche, oltre al fatto di perchè le funzioni continue a supporto compatto non siano dense in L infinito, se ciò potesse essere conseguenza del risultato che avevo scritto nel primo post. Comunque ho seguito il tuo ragionamento per assurdo e mi sembra che fili, anche se non ho capito perchè deve esistere qualche punto di A in cui $f_n$ si annulla. Grazie.

Certo. E' conseguenza di quel fatto. Qui abbiamo fatto un discorso di supporto: siccome \(A\) è aperto, una funzione continua \(f_n\) avente supporto compatto \(K\) deve essere nulla (almeno in) \(A \setminus K\), che è un sottoinsieme aperto e non vuoto di \(A\). In tale sottoinsieme la differenza \(f_n-1\) è uguale a \(-1\) e quindi la distanza uniforme (che per funzioni continue è semplicemente il sup delle distanze) tra \(f_n\) e \(1\) non è più piccola di \(1\).

Si poteva anche ragionare in modo alternativo, come suggerisce Gugo: siccome il limite uniforme di una successione di funzioni continue è una funzione continua, ogni funzione di \(L^\infty(A)\) che sia approssimabile con una successione di funzioni continue a supporto compatto è in particolare continua. E si arriva ad una contraddizione, visto che chiaramente in tale spazio esistono funzioni non continue. Qui naturalmente c'è da ricordare la solita sottigliezza del "quasi ovunque": le funzioni di \(L^\infty(A)\) sono definite a meno di equivalenza "quasi ovunque", quindi dire che una di esse è "continua" va interpretato come "esiste una funzione continua che coincide quasi ovunque con tutte le funzioni della classe di equivalenza indicata".

[aram1]

Però, riflettendoci, il fatto che in $L^{\infty}$ le successioni convergono sse convergono uniformemente su A\D dove D è un insieme di misura nulla, avvalora il fatto che le funzioni continue a supporto compatto $(C_c)$ non sono dense in $L^{\infty}$, perchè può essere benissimo che una certa successione in $C_c$ non converga uniformemente ad una $f \in L^{\infty}$, o meglio che una $f \in L^{\infty}$ non sia limite uniforme di nessuna successione in $C_c$ (questo, per definizione di densità).
Secondo voi il mio ragionamento fila?

[dissonance]

No. Non hai dimostrato nulla. Hai solo riscritto la tesi e fatto qualche giro di parole a vuoto.