Spazi di Sobolev nel calcolo variazionale
Qualcuno potrebbe illuminarmi sul perchè le soluzioni di un problema di minimo di un funzionale vengono ricercate in uno spazio di Sobolev?
Io sugli appunti per esempio ho scritto:
Sia
$ X={u in C^1 : ||u||= (int_0^1|u|^2+|u'|^2dx )^(1/2)} $
E chiamiamo $H^1$ il completamento di X.
Poi d ora in avanti il testo ricerca tutte le soluzioni di un problema variazionale all interno di H, mostrando che è di Sobolev, ma non ho ben capito la motivazione "implicita" per cui viene fatto ciò..
Io sugli appunti per esempio ho scritto:
Sia
$ X={u in C^1 : ||u||= (int_0^1|u|^2+|u'|^2dx )^(1/2)} $
E chiamiamo $H^1$ il completamento di X.
Poi d ora in avanti il testo ricerca tutte le soluzioni di un problema variazionale all interno di H, mostrando che è di Sobolev, ma non ho ben capito la motivazione "implicita" per cui viene fatto ciò..
Risposte
Detto in maniera rozza, il perché è questo: lo spazio delle funzioni \(C^1\) è troppo piccolo per poter far funzionare le tecniche che garantiscono l'esistenza di un minimo, come il cosiddetto metodo diretto.
Quindi, se si vogliono usare queste tecniche, si pone il problema di "allargare" in qualche modo lo spazio \(C^1\)... Ma in che modo?
Beh, visto che un prodotto scalare su \(C^1\) ce l'abbiamo, il modo "naturale" di allargare tale spazio è quello di completarlo in uno spazio di Hilbert. Lo spazio che si ottiene completando \(C^1\) rispetto al prodotto scalare è proprio \(W^{1,2}=H^1\).
Quindi, per costruzione, sappiamo che nei casi buoni (e.g., nel caso in cui il funzionale in esame verifichi le ipotesi del teorema di semicontinuità di Ioffe) l'esistenza delle soluzioni è assicurata in \(H^1\); tali soluzioni sono anche dette soluzioni deboli.
Ma ciò fa sorgere un altro (e ben più grosso) problema. Noi volevamo soluzioni in \(C^1\), cioè continue con la loro derivata, e non in \(H^1\) (le cui funzioni possono essere anche parecchio "brutte"*); quindi, una volta trovate le soluzioni del nostro problema in \(H^1\), dobbiamo riuscire a far vedere che esse stanno in \(C^1\) per poter affermare che esse sono soluzioni anche del problema di partenza... Ciò si esprime dicendo che si pone il problema della regolarità delle soluzioni deboli.
Una volta risolto il problema della regolarità, possiamo affermare che le soluzioni deboli trovate col metodo diretto sono anche soluzioni del problema originario e quindi abbiamo finito.
__________
* Nel caso di una variabile le funzioni di Sobolev non sono così brutte... Quindi prendi quest'affermazione cum grano salis, sapendo che è tanto più vera quanto più grande è la dimensione dello spazio in cui è contenuto il dominio di \(u\).
Quindi, se si vogliono usare queste tecniche, si pone il problema di "allargare" in qualche modo lo spazio \(C^1\)... Ma in che modo?
Beh, visto che un prodotto scalare su \(C^1\) ce l'abbiamo, il modo "naturale" di allargare tale spazio è quello di completarlo in uno spazio di Hilbert. Lo spazio che si ottiene completando \(C^1\) rispetto al prodotto scalare è proprio \(W^{1,2}=H^1\).
Quindi, per costruzione, sappiamo che nei casi buoni (e.g., nel caso in cui il funzionale in esame verifichi le ipotesi del teorema di semicontinuità di Ioffe) l'esistenza delle soluzioni è assicurata in \(H^1\); tali soluzioni sono anche dette soluzioni deboli.
Ma ciò fa sorgere un altro (e ben più grosso) problema. Noi volevamo soluzioni in \(C^1\), cioè continue con la loro derivata, e non in \(H^1\) (le cui funzioni possono essere anche parecchio "brutte"*); quindi, una volta trovate le soluzioni del nostro problema in \(H^1\), dobbiamo riuscire a far vedere che esse stanno in \(C^1\) per poter affermare che esse sono soluzioni anche del problema di partenza... Ciò si esprime dicendo che si pone il problema della regolarità delle soluzioni deboli.
Una volta risolto il problema della regolarità, possiamo affermare che le soluzioni deboli trovate col metodo diretto sono anche soluzioni del problema originario e quindi abbiamo finito.
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* Nel caso di una variabile le funzioni di Sobolev non sono così brutte... Quindi prendi quest'affermazione cum grano salis, sapendo che è tanto più vera quanto più grande è la dimensione dello spazio in cui è contenuto il dominio di \(u\).
Praticamente avevo colto queste questioni ma mi mancava da fare un pò il quadro generale... grazie mille!!
A parte il fatto che lavorando solo con funzioni reali forse il problema era proprio che non capivo la differenza, mi sapresti dire qualcosa di più su questo teorema di semicontinuità che hai indicato?
Più precisamente in una dimostrazione di una proposizione dice:
"abbiamo quindi trovato una sequenza minimizzatrice equilimitata in $H^1$, e, dato che il funzionale F è semicontinuo inferiormente rispetto la convergenza debole di $H^1$, allora il minimo esiste."
Quale teorema esattamente giustifica questo passaggio?
grazie!
A parte il fatto che lavorando solo con funzioni reali forse il problema era proprio che non capivo la differenza, mi sapresti dire qualcosa di più su questo teorema di semicontinuità che hai indicato?
Più precisamente in una dimostrazione di una proposizione dice:
"abbiamo quindi trovato una sequenza minimizzatrice equilimitata in $H^1$, e, dato che il funzionale F è semicontinuo inferiormente rispetto la convergenza debole di $H^1$, allora il minimo esiste."
Quale teorema esattamente giustifica questo passaggio?
grazie!
In \(H^1\) (come in un qualsiasi spazio di Banach riflessivo) da ogni successione limitata si può estrarre una sottosuccessione convergente nella topologia debole.
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