Spazi di Sobolev frazionari

[CenzoMascia90]

Salve a tutti. Avrei un dubbio su un Lemma di questo articolo di cui posto il link.

https://arxiv.org/pdf/1104.4345.pdf

Precisamente si tratta del lemma 5.1 a pagina 33. Non riesco a capire perché l'ultimo integrale (formula 5.3) è convergente. Ho pensato di ricondurlo in qualche modo all'integrale sul complementare di una palla però non ho ottenuto la convergenza.

[Luca.Lussardi]

La condizione sulla distanza che da' ti dice che non hai la singolarita' 0 al denominatore ma solo quella all'infinito, ma all'infinito sei sommabile perche' la potenza e' maggiore della dimensione dello spazio.

[CenzoMascia90]

Certo, quello è chiaro. Però secondo me in questo caso è diverso.

Quello che dici tu andrebbe bene se avessi l'integrale (fatto rispetto a y) sul complementare di una palla di centro x (e raggio qualunque) della funzione
1/ |x-y|^{N+sp}

Al denominatore non ho la distanza tra due punti, ma la distanza tra un punto y che varia nel complementare di Omega e il compatto K che è contenuto in Omega.

[Luca.Lussardi]

Non credo che cambi, al denominatore hai una quantita' che stimi dal basso quindi sei lontano dallo zero come denominatore, il problema di sommabilita' lo hai solo all'infinito, che tu sia fuori da una palla o qualcosa d'altro poco importa.

[CenzoMascia90]

Anche a me sembra che non cambi, così intuitivamente, magari qualcosa mi sfugge. Se riesco a trovare la soluzione la posterò qui. Grazie comunque

[CenzoMascia90]

Luca Lussardi, ho provato a chiedere anche su un gruppo di Facebook e mi hanno dato un suggerimento e sono riuscito a risolvere.

Il ragionamento è il seguente. Fissare un punto x_0 di K e dimostrare che esiste una costante a < 1 tale che se |y-x_0|> R, allora dist(y,K) >= a |y-x_0|.

Io ho fatto i calcoli e ho ottenuto tutto questo con R = 2 diam K e a = 1/2. Se sei interessato ti mando i calcoli, visto che qua non riesco ancora ad inserire immagini