Spazi di Sobolev e Lp
Due questioni riguardanti essenzialmente la possibilita' di avere un esempio piu o meno concreto per chiarificarmi alcuni concetti:
1. Perche' vi e' necessita' di introdurre in L2 il concetto di derivata forte accanto a quello di derivata tradizionale? Esiste un esempio di funzione che ammetta derivata classica in ogni punto ma non abbia mai derivata forte?
2. Dacche' ho capito, quando possibile, ad ogni elemento di H^(1/2)(R) si fa corrispondere il relativo "rappresentante" tra le funzioni continue.
Esiste un esempio "facile" di elementi di tale spazio per il quale non sia possibile? Giusto per capire concretamente il "cosa c'è di più" in H^(1/2)(R).
Grazie mille!
Tia
1. Perche' vi e' necessita' di introdurre in L2 il concetto di derivata forte accanto a quello di derivata tradizionale? Esiste un esempio di funzione che ammetta derivata classica in ogni punto ma non abbia mai derivata forte?
2. Dacche' ho capito, quando possibile, ad ogni elemento di H^(1/2)(R) si fa corrispondere il relativo "rappresentante" tra le funzioni continue.
Esiste un esempio "facile" di elementi di tale spazio per il quale non sia possibile? Giusto per capire concretamente il "cosa c'è di più" in H^(1/2)(R).
Grazie mille!
Tia
Risposte
Appena guardato. A grandi linee ci prende e mi chiarisce un poco i dubbi ma non e' esattamente quello che intendevo per il punto 2.
Voglio dire, $H^(1/2)$ contiene tutte e sole le $f$ per cui la relativa trasformata di Fourier e' una funzione in $L^2_(loc)$ e per la quale valga $ \int |\hat(f)|(1+ |\xi |^2)^(1/2)d\xi < \infty $, giusto?
E questo non pone alcun vincolo su $f$ che potrebbe benissimo non essere una funzione
Quello che domando e': esiste un esempio concreto di tale $f$ che non sia una funzione?
Voglio dire, $H^(1/2)$ contiene tutte e sole le $f$ per cui la relativa trasformata di Fourier e' una funzione in $L^2_(loc)$ e per la quale valga $ \int |\hat(f)|(1+ |\xi |^2)^(1/2)d\xi < \infty $, giusto?
E questo non pone alcun vincolo su $f$ che potrebbe benissimo non essere una funzione
Quello che domando e': esiste un esempio concreto di tale $f$ che non sia una funzione?
No, non esiste perché si dimostra che ogni distribuzione temperata che soddisfi quella condizione è un elemento di \(L^2\). Non mi sovviene in questo momento come si faccia (sarà sicuramente roba di teorema di inversione)[size=80](*)[/size]. Comunque riguarda la condizione perché mi pare che ci manchi qualche esponente.
PS: Perché parli di "derivata forte"? Di solito si dice "derivata debole" in opposizione a "derivata classica".
___________
(*) PPS: infatti è così. Dalla condizione (che però devi scrivere bene, ora come ora è sbagliata) segue che \(\hat{f}\), la trasformata di Fourier della distribuzione temperata \(f\), è un elemento di \(L^2\). Ma allora basta antitrasformare e ricordare il teorema di Plancherel per concludere che pure \(f\) è in \(L^2\).
PS: Perché parli di "derivata forte"? Di solito si dice "derivata debole" in opposizione a "derivata classica".
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(*) PPS: infatti è così. Dalla condizione (che però devi scrivere bene, ora come ora è sbagliata) segue che \(\hat{f}\), la trasformata di Fourier della distribuzione temperata \(f\), è un elemento di \(L^2\). Ma allora basta antitrasformare e ricordare il teorema di Plancherel per concludere che pure \(f\) è in \(L^2\).
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