Spazi di Sobolev
Sono attualmente impegnato nella mia tesi (di analisi numerica) e sto cercando di dimostrare un teorema che tira in ballo l'analisi superiore (primo esame fatto alla magistrale) di cui ovviamente ricordo poco o niente: in particolare si parla di spazi di Sobolev.
Prendiamo un insieme Omega di R^2 (facciamo limitato con frontiera regolare quanto vi pare per evitare casini) e H^1(Omega) usale spazio di Sobolev/Hilbert delle funzioni L^2 con derivate distribuzionali a loro volta L^2.
Se io "taglio" l'insieme in due parti, Omega_1 e Omega_2, e restringo una funzione u di H^1(Omega) a Omega_1, la funzione che ottengo è ancora L^2 e pure le sue derivate. Questo mi basta per dire che la u sta in H^1(Omega_1) o le funzioni test che vivono a cavallo del bordo possono fare casino?
Mi servirebbe poi anche la versione "inversa" del teorema, ovvero mi servirebbe che presa una u_1 in H^1(Omega_1) e u_2 in H^1(Omega_2) si possano "montare" e ottenere una u che stia in H^1(Omega).
Posto che qualcuno mi sappia rispondere, sarebbe una figata anche avere una traccia di dimostrazione (sperando che non saltino fuori i mollificatori di cui ho un ricordo pessimo
)
EDIT: Temo di aver trovato la mia risposta (negativa) sulla pagina inglese di Wikipedia in cui si parla della restrizione di distribuzioni a insiemi più piccoli, ma se qualcuno ha una risposta/dimostrazione decente sull'argomento si faccia avanti che magari mi serve (anche perchè la dimostrazione di cui sopra mi avrebbe fatto comodo ma non è detto che si debba passare di lì!)
Prendiamo un insieme Omega di R^2 (facciamo limitato con frontiera regolare quanto vi pare per evitare casini) e H^1(Omega) usale spazio di Sobolev/Hilbert delle funzioni L^2 con derivate distribuzionali a loro volta L^2.
Se io "taglio" l'insieme in due parti, Omega_1 e Omega_2, e restringo una funzione u di H^1(Omega) a Omega_1, la funzione che ottengo è ancora L^2 e pure le sue derivate. Questo mi basta per dire che la u sta in H^1(Omega_1) o le funzioni test che vivono a cavallo del bordo possono fare casino?
Mi servirebbe poi anche la versione "inversa" del teorema, ovvero mi servirebbe che presa una u_1 in H^1(Omega_1) e u_2 in H^1(Omega_2) si possano "montare" e ottenere una u che stia in H^1(Omega).
Posto che qualcuno mi sappia rispondere, sarebbe una figata anche avere una traccia di dimostrazione (sperando che non saltino fuori i mollificatori di cui ho un ricordo pessimo
)EDIT: Temo di aver trovato la mia risposta (negativa) sulla pagina inglese di Wikipedia in cui si parla della restrizione di distribuzioni a insiemi più piccoli, ma se qualcuno ha una risposta/dimostrazione decente sull'argomento si faccia avanti che magari mi serve (anche perchè la dimostrazione di cui sopra mi avrebbe fatto comodo ma non è detto che si debba passare di lì!)
Risposte
Se $A\subset\Omega$ è aperto, la restrizione $u_A$ di una funzione $u\in H^1(\Omega)$ all'insieme $A$ sta in $H^1(A)$; basta applicare la definizione e ricordarsi che ogni funzione test $\phi\in C^{\infty}_c(A)$ può essere estesa a una funzione di $C^{\infty}_c(\Omega)$ ponendola $=0$ in $\Omega\setminus A$.
Per la questione degli incollamenti bisognerebbe sapere di preciso di cos'hai bisogno.
Per la questione degli incollamenti bisognerebbe sapere di preciso di cos'hai bisogno.
Effettivamente è come dici tu: non avevo pensato che le funzioni a supporto compatto se vanno sul "taglio" fanno 0!
Spiegando in breve a cosa mi serve la questione dell'incollamento: la mia tesi riguarda l'accoppiamento di due metodi numerici per la risoluzione di equazioni differenziali (BEM e FEM se sai di cosa parlo). Ovviamente l'utilizzo di un metodo numerico prevede (a monte) che uno dimostri esistenza e unicità della soluzione.
In sostanza io ho il mio problema differenziale con condizioni al bordo miste, di cui so esistere una soluzione $u \in H^1(\Omega)$ e devo dimostrare che posso tagliare e fare due formulazioni deboli separate e che mi daranno ognuna una soluzione. Poi la u viene ricostruita incollando la coppia di soluzioni che trovo imponendo che le funzioni e le loro derivate siano uguali sull'incollamento (spero si sia capito perchè nella tesi ci vogliono 2 pagine a dir sta roba!).
Vorrei evitare di dimostrare il tutto utilizzando corcività e continuità della formulazione globale (si può fare perchè ho una dimostrazione del genere su un articolo, ma si utilizzano coppie di funzioni invece di funzioni e ci divento scemo!) per cui ho pensato che si poteva lavorare un po' sulla formulazione debole "globale" e dividerla. Da qui la mia domanda...
Approfitto della tua pazienza per una seconda domanda: se $\varphi \in \mathcal C^\infty(\Omega_1)$ (occhio che lo zero a pedice manca volutamente) allora è possibile che (indicando con $\Gamma$ il bordo di $\Omega$ e con $n$ la normale uscente dal bordo)
$\int_{\Omega} \frac{\partial u_1}{\partial x_i} \varphi = - \int_{\Omega} u_1 \frac{\partial \varphi}{\partial x_i} + \int_{\Gamma} u_1 \varphi n_i$
Ovvero una specie di identità di Green?
EDIT: oltre ad aver scritto malissimo il tutto, avevo pure dimenticato dei pedici!
Spiegando in breve a cosa mi serve la questione dell'incollamento: la mia tesi riguarda l'accoppiamento di due metodi numerici per la risoluzione di equazioni differenziali (BEM e FEM se sai di cosa parlo). Ovviamente l'utilizzo di un metodo numerico prevede (a monte) che uno dimostri esistenza e unicità della soluzione.
In sostanza io ho il mio problema differenziale con condizioni al bordo miste, di cui so esistere una soluzione $u \in H^1(\Omega)$ e devo dimostrare che posso tagliare e fare due formulazioni deboli separate e che mi daranno ognuna una soluzione. Poi la u viene ricostruita incollando la coppia di soluzioni che trovo imponendo che le funzioni e le loro derivate siano uguali sull'incollamento (spero si sia capito perchè nella tesi ci vogliono 2 pagine a dir sta roba!).
Vorrei evitare di dimostrare il tutto utilizzando corcività e continuità della formulazione globale (si può fare perchè ho una dimostrazione del genere su un articolo, ma si utilizzano coppie di funzioni invece di funzioni e ci divento scemo!) per cui ho pensato che si poteva lavorare un po' sulla formulazione debole "globale" e dividerla. Da qui la mia domanda...
Approfitto della tua pazienza per una seconda domanda: se $\varphi \in \mathcal C^\infty(\Omega_1)$ (occhio che lo zero a pedice manca volutamente) allora è possibile che (indicando con $\Gamma$ il bordo di $\Omega$ e con $n$ la normale uscente dal bordo)
$\int_{\Omega} \frac{\partial u_1}{\partial x_i} \varphi = - \int_{\Omega} u_1 \frac{\partial \varphi}{\partial x_i} + \int_{\Gamma} u_1 \varphi n_i$
Ovvero una specie di identità di Green?
EDIT: oltre ad aver scritto malissimo il tutto, avevo pure dimenticato dei pedici!
Riguardo all'identità da te citata, essa vale se $\Omega$ ha frontiera Lipschitziana.
Nel termine $\int_{\Gamma}$ la misura di integrazione è quella di Hausdorff $(n-1)$-dimensionale, e dove compare $u$ si intende la traccia di $u$ su $\Gamma$.
Nel termine $\int_{\Gamma}$ la misura di integrazione è quella di Hausdorff $(n-1)$-dimensionale, e dove compare $u$ si intende la traccia di $u$ su $\Gamma$.
Beh nel mio caso la frontiera è una spezzata, quindi la Lipschtzianità c'è abbondantemente! L'identità in questione vale anche per funzioni $\varphi$ in $H^1(\Omega)$? Per caso hai da segnalarmi un libro dove guardare queste robe?
Puoi guardare sul libro di G. Leoni, "A first course in Sobolev spaces"
Figurarsi se la mia biblioteca ce l'ha... Potresti mica rispondermi alla domanda?
Vediamo un po'.
Supponiamo che $\Omega\subset\RR^n$ sia limitato e Lipschitziano.
Sappiamo che l'operatore di traccia \( Tr: H^1(\Omega) \to L^2(\partial\Omega, \mathcal{H}^{n-1}) \) è continuo; inoltre
\[
(1) \qquad \int_{\Omega} u \partial_i \phi = - \int_{\Omega} \phi \partial_i u + \int_{\partial\Omega} Tr(u) \phi \nu_i d\mathcal{H}^{n-1}
\]
per ogni $\phi \in C^{\infty}_c(\RR^n)$. In più, le restrizioni delle funzioni di $C^{\infty}_c(\RR^n)$ sono dense in $H^1(\Omega)$.
Di conseguenza, direi che se $\phi\in H^1(\Omega)$, la posso approssimare in $H^1(\Omega)$ con una successione $\psi_n\in C^{\infty}_c(\RR^n)$. Per ogni $\psi_n$ vale la (1); passando al limite e usando la continuità dell'operatore di traccia mi sembra si possa concludere che la (1) vale anche con $\phi$, purché nell'ultimo integrale si usi $Tr(\phi)$ al posto di $\phi$.
Supponiamo che $\Omega\subset\RR^n$ sia limitato e Lipschitziano.
Sappiamo che l'operatore di traccia \( Tr: H^1(\Omega) \to L^2(\partial\Omega, \mathcal{H}^{n-1}) \) è continuo; inoltre
\[
(1) \qquad \int_{\Omega} u \partial_i \phi = - \int_{\Omega} \phi \partial_i u + \int_{\partial\Omega} Tr(u) \phi \nu_i d\mathcal{H}^{n-1}
\]
per ogni $\phi \in C^{\infty}_c(\RR^n)$. In più, le restrizioni delle funzioni di $C^{\infty}_c(\RR^n)$ sono dense in $H^1(\Omega)$.
Di conseguenza, direi che se $\phi\in H^1(\Omega)$, la posso approssimare in $H^1(\Omega)$ con una successione $\psi_n\in C^{\infty}_c(\RR^n)$. Per ogni $\psi_n$ vale la (1); passando al limite e usando la continuità dell'operatore di traccia mi sembra si possa concludere che la (1) vale anche con $\phi$, purché nell'ultimo integrale si usi $Tr(\phi)$ al posto di $\phi$.
Grazie mille! Se interessa ho anche trovato questo
http://www-dimat.unipv.it/~pratelli/201 ... v_2011.pdf
che riassume un po' di risultati utili in merito (qui si parla solo di $R^n_+$ e $R^n_-$, ma se gli insiemi sono aperti con una frontiera decente si generalizza)
http://www-dimat.unipv.it/~pratelli/201 ... v_2011.pdf
che riassume un po' di risultati utili in merito (qui si parla solo di $R^n_+$ e $R^n_-$, ma se gli insiemi sono aperti con una frontiera decente si generalizza)
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