Spazi di Sobolev
Ho diversi dubbi riguardanti gli spazi di Sobolev (noi li trattiamo solo in dimensione 1):
1) Ci è stato detto che, se [tex]I[/tex] è un intervallo aperto (anche non limitato) e [tex]1 \leq p \leq \infty[/tex], allora
[tex]W^{(1,p)}(I) = {u \in L^p(I) : \exists g \in L^p(I)[/tex] tale che[tex]\int_I u \phi' = - \int_I g \phi, \forall \phi \in C^1_c(I)[/tex]
Poi ci è stato precisato che in realtà si può prendere equivalentemente [tex]\phi \in C^{\infty}_c(I)[/tex].
Questa cosa non mi è affatto chiara...[tex]C^1[/tex] e [tex]C^{\infty}[/tex] mi sembrano due cose piuttosto differenti, dunque la condizione [tex]\phi \in C^{\infty}_c(I)[/tex] mi sembra più restrittiva (e non equivalente) rispetto all'altra.
2) Ci è stato detto ancora che, se [tex]I[/tex] è limitato, risulta [tex]C^1(\bar I) \subset W^{(1,p)}(I)[/tex]
Ma perché prendere la chiusura di [tex]I[/tex]? Non va bene semplicemente [tex]C^1(I) \subset W^{(1,p)}(I)[/tex]?
3) Abbiamo osservato che la [tex]g[/tex] definita al punto (1) è la derivata distribuzionale di [tex]u[/tex]. Allora ad esempio possiamo dire che la funzione gradino [tex]H(x)[/tex] su [tex]I = ]-1,1[[/tex] non appartiene ad alcun [tex]W^{(1,p)}(I)[/tex], in quanto la sua derivata distribuzionale, ovvero la delta, non è in [tex]L^p(I)[/tex], non essendo la delta una funzione ordinaria. Ma se ci dimentichiamo del fatto che [tex]g[/tex] è la derivata distribuzionale di [tex]u[/tex] (gli spazi di Sobolev tra l'altro non ci sono stati definiti mediante il concetto di distribuzione), come verificare che [tex]H(x) \not\in W^{(1,p)}(I)[/tex]?
1) Ci è stato detto che, se [tex]I[/tex] è un intervallo aperto (anche non limitato) e [tex]1 \leq p \leq \infty[/tex], allora
[tex]W^{(1,p)}(I) = {u \in L^p(I) : \exists g \in L^p(I)[/tex] tale che[tex]\int_I u \phi' = - \int_I g \phi, \forall \phi \in C^1_c(I)[/tex]
Poi ci è stato precisato che in realtà si può prendere equivalentemente [tex]\phi \in C^{\infty}_c(I)[/tex].
Questa cosa non mi è affatto chiara...[tex]C^1[/tex] e [tex]C^{\infty}[/tex] mi sembrano due cose piuttosto differenti, dunque la condizione [tex]\phi \in C^{\infty}_c(I)[/tex] mi sembra più restrittiva (e non equivalente) rispetto all'altra.
2) Ci è stato detto ancora che, se [tex]I[/tex] è limitato, risulta [tex]C^1(\bar I) \subset W^{(1,p)}(I)[/tex]
Ma perché prendere la chiusura di [tex]I[/tex]? Non va bene semplicemente [tex]C^1(I) \subset W^{(1,p)}(I)[/tex]?
3) Abbiamo osservato che la [tex]g[/tex] definita al punto (1) è la derivata distribuzionale di [tex]u[/tex]. Allora ad esempio possiamo dire che la funzione gradino [tex]H(x)[/tex] su [tex]I = ]-1,1[[/tex] non appartiene ad alcun [tex]W^{(1,p)}(I)[/tex], in quanto la sua derivata distribuzionale, ovvero la delta, non è in [tex]L^p(I)[/tex], non essendo la delta una funzione ordinaria. Ma se ci dimentichiamo del fatto che [tex]g[/tex] è la derivata distribuzionale di [tex]u[/tex] (gli spazi di Sobolev tra l'altro non ci sono stati definiti mediante il concetto di distribuzione), come verificare che [tex]H(x) \not\in W^{(1,p)}(I)[/tex]?
Risposte
Premesso che gli spazi di Sobolev mi fanno venire l'itterizia, c'è comunque un quesito cui mi sento di dare una risposta, anche se magari parziale:
Se riesci a provare la prima inclusione, hai un risultato più forte che non il secondo (es: la funzione tangente è in C^1 di $I = ]-pi,pi[$ ma non è certo C^1 sulla chiusura di I).
E di solito avere un risultato più forte aiuta
"Kroldar":
2) Ci è stato detto ancora che, se [tex]I[/tex] è limitato, risulta [tex]C^1(\bar I) \subset W^{(1,p)}(I)[/tex]
Ma perché prendere la chiusura di [tex]I[/tex]? Non va bene semplicemente [tex]C^1(I) \subset W^{(1,p)}(I)[/tex]?
Se riesci a provare la prima inclusione, hai un risultato più forte che non il secondo (es: la funzione tangente è in C^1 di $I = ]-pi,pi[$ ma non è certo C^1 sulla chiusura di I).
E di solito avere un risultato più forte aiuta
La 1) è un semplice fatto di regolarizzazione di funzioni $C^1$ con funzioni $C^\infty$, non c'è nulla di strano sotto.
Per la 3) non ho capito bene cosa intendi... se la $g$ la definisci con quella formula di integrazione per parti essa è necessariamente uguale alla derivata distribuzionale, per cui se la derivata distribuzionale, che c'è sempre, non è una funzione di $L^p$ hai finito. Non puoi dimenticarti che $g$ è la derivata distribuzionale di $u$...
Per la 3) non ho capito bene cosa intendi... se la $g$ la definisci con quella formula di integrazione per parti essa è necessariamente uguale alla derivata distribuzionale, per cui se la derivata distribuzionale, che c'è sempre, non è una funzione di $L^p$ hai finito. Non puoi dimenticarti che $g$ è la derivata distribuzionale di $u$...
"Fioravante Patrone":
Premesso che gli spazi di Sobolev mi fanno venire l'itterizia, c'è comunque un quesito cui mi sento di dare una risposta, anche se magari parziale:
[quote="Kroldar"]2) Ci è stato detto ancora che, se [tex]I[/tex] è limitato, risulta [tex]C^1(\bar I) \subset W^{(1,p)}(I)[/tex]
Ma perché prendere la chiusura di [tex]I[/tex]? Non va bene semplicemente [tex]C^1(I) \subset W^{(1,p)}(I)[/tex]?
Se riesci a provare la prima inclusione, hai un risultato più forte che non il secondo (es: la funzione tangente è in C^1 di $I = ]-pi,pi[$ ma non è certo C^1 sulla chiusura di I).
E di solito avere un risultato più forte aiuta
[/quote]Premesso che con le locuzioni "risultato piu' forte" "risultato piu' debole" ho sempre avuto qualche problema (come con distinguere la destra e la sinistra), dopo averci pensato un po' mi pare di dovere contraddire Fioravante (Argh).
Secondo me (1) $C^1(I)\subset "qualcosa"$ e' piu' forte di (2) $C^1(\bar I)\subset "qualcosa"$. In effetti essendo $C^1(\bar I)\subset C^1(I)$ dalla (1) si deduce la (2) e quindi la (1) e' piu' forte della (2). O no? (non escludo di sbagliarmi nell'intedere il "piu' forte")
Riguardo alla domanda originaria, direi che non si dice $C^1(I)\subset W^{1,p}(I)$ perche' e' falso
. Se si prende $f(x)=1/x^\alpha$ questa e' $C^1(]0,1[)$ qualunque sia $\alpha$ ma e' $W^{1,p}$ solo per certi $\alpha$ (visto che c'e di mezzo un'integrabilita'). Anzi direi che e' $W^{1,p}$ solo per gli $\alpha\leq0$, visto che le funzioni $W^{1,p}$ (in una dimensione) sono continue su $\bar I$.Riguardo al primo punto si tratta (come hanno gia' detto in molti) del fatto (non banale) che ogni funzione $C_c^1(\bar I)$ si "approssima" (in modo opportuno) con funzioni $C_c^\infty(I)$.
"Fioravante Patrone":
Premesso che gli spazi di Sobolev mi fanno venire l'itterizia etc
Perchè una reazione così forte ?
@VG: 'mbè?
E' evidente dall'ora che dovevo ancora svegliarmi.
Il caffé era sul fuoco...
OK, non lo faccio più di postare prima di aver bevuto il caffé mattutino.
Mi scuso con Kroldar e ringrazio VG
E' evidente dall'ora che dovevo ancora svegliarmi.
Il caffé era sul fuoco...
OK, non lo faccio più di postare prima di aver bevuto il caffé mattutino.
"Camillo":
[quote="Fioravante Patrone"]Premesso che gli spazi di Sobolev mi fanno venire l'itterizia etc
Perchè una reazione così forte ?
[/quote]A Pavia mi son sorbito troppi seminari in cui questi mostriciattoli venivano evocati. In compenso mi piacque molto la teoria delle distribuzioni e ricordo ancora con piacere il coso di Gianni Arrigo Pozzi (Analisi Funzionale, mi pare fosse) che seguii e al cui interno G.A. fece appunto la teoria delle distribuzioni (spazi vettoriali topologici localmente convessi e compagnia).
Insomma, roba personale. Tieni conto che a PV facevo l'analista, ma non lavoravo su equadiff, CdV o disequazioni variazionali (infamia ed abominio su di me. Anche stupidità, visto come "tiravano" le disequazioni variazionali).
In realtà pensavo che il commento scherzoso ".. mi fanno venire l'itterizia " nascondesse un tuo giudizio negativo sui famigerati spazi di Sobolev , del perchè e del percome ero e sono tuttora curioso ( se ne abusa, non sono così efficaci come viene propagandato , è una moda....)
Riguardo alla 3 aggiungo qualche dettaglio a quanto ha detto Luca. Per vedere che $H$ non e' in $W^{1,p}$ fai sostanzialmente cosi':
1) noti che - per la formula di integrazione per parti
$-\int_{RR}H(x)\phi'(x)dx=\phi(0)$ per ogni $\phi$ in $C_0^\infty$.
2) dimostri che non puo' esistere nessuna funzione $g$ in $L^p$ tale che
$\int_{RR}g(x)\phi(x)dx =\phi(0)$ per ogni $\phi$ in $C_0^\infty$;
cioe' - anche se non la nomini - devi dimostrare che la delta di Dirac non e' una funzione. Beninteso il fatto di definire la $\delta$ e' un passo ulteriore.
OT
@Fioravante
E' molto interessante leggere i tuoi commenti personali. Verso la seconda meta' degli anni ottanta, qualche anno dopo la laurea, stavo per venire a Pavia e non ci arrivai perche' sbagliai a fare una domanda
per un concorso di ricercatore (del CNR) . Ricordo che si puntava molto sull'analisi numerica allora.
1) noti che - per la formula di integrazione per parti
$-\int_{RR}H(x)\phi'(x)dx=\phi(0)$ per ogni $\phi$ in $C_0^\infty$.
2) dimostri che non puo' esistere nessuna funzione $g$ in $L^p$ tale che
$\int_{RR}g(x)\phi(x)dx =\phi(0)$ per ogni $\phi$ in $C_0^\infty$;
cioe' - anche se non la nomini - devi dimostrare che la delta di Dirac non e' una funzione. Beninteso il fatto di definire la $\delta$ e' un passo ulteriore.
OT
@Fioravante
E' molto interessante leggere i tuoi commenti personali. Verso la seconda meta' degli anni ottanta, qualche anno dopo la laurea, stavo per venire a Pavia e non ci arrivai perche' sbagliai a fare una domanda
per un concorso di ricercatore (del CNR) . Ricordo che si puntava molto sull'analisi numerica allora.
Innanzitutto, ringrazio tutti coloro che sono intervenuti e colgo l'occasione per ringraziare già da ora tutti coloro che interverranno nel seguito 
Hai ragione. La cosa è anche semplice da capire, ma facevo confusione. Consideravo l'integrale esteso non a $I$ ma a un compatto strettamente contenuto in $I$. Invece dimenticavo la cosa più importante, ovvero che una funzione in $W^(1,p)(I)$ deve innanzitutto appartenere a $L^p(I)$.
Perché? Perché un'eventuale discontinuità presupporrebbe una delta nella derivata?
Vorrei avere qualche spiegazione in più su questo punto. Anche Luca.Lussardi ha detto la stessa cosa. Sul fatto che si possa fare quell'approssimazione, ti credo sulla parola. Ma continuo a non capire.
Anche questo fatico a capirlo. La formula di integrazione per parti, l'abbiamo definita solo per funzioni derivabili e il gradino non è derivabile in un intervallo che contenga strettamente lo zero, quindi come applico la formula per parti? Ammetto di avere una gran confusione in testa con tutte queste pseudo-derivate
"ViciousGoblin":
Riguardo alla domanda originaria, direi che non si dice $C^1(I)\subset W^{1,p}(I)$ perche' e' falso
Hai ragione. La cosa è anche semplice da capire, ma facevo confusione. Consideravo l'integrale esteso non a $I$ ma a un compatto strettamente contenuto in $I$. Invece dimenticavo la cosa più importante, ovvero che una funzione in $W^(1,p)(I)$ deve innanzitutto appartenere a $L^p(I)$.
"ViciousGoblin":
le funzioni $W^{1,p}$ (in una dimensione) sono continue su $\bar I$.
Perché? Perché un'eventuale discontinuità presupporrebbe una delta nella derivata?
"ViciousGoblin":
Riguardo al primo punto si tratta (come hanno gia' detto in molti) del fatto (non banale) che ogni funzione $C_c^1(\bar I)$ si "approssima" (in modo opportuno) con funzioni $C_c^\infty(I)$.
Vorrei avere qualche spiegazione in più su questo punto. Anche Luca.Lussardi ha detto la stessa cosa. Sul fatto che si possa fare quell'approssimazione, ti credo sulla parola. Ma continuo a non capire.
"ViciousGoblin":
Riguardo alla 3 aggiungo qualche dettaglio a quanto ha detto Luca. Per vedere che $H$ non e' in $W^{1,p}$ fai sostanzialmente cosi':
1) noti che - per la formula di integrazione per parti
$-\int_{RR}H(x)\phi'(x)dx=\phi(0)$ per ogni $\phi$ in $C_0^\infty$.
Anche questo fatico a capirlo. La formula di integrazione per parti, l'abbiamo definita solo per funzioni derivabili e il gradino non è derivabile in un intervallo che contenga strettamente lo zero, quindi come applico la formula per parti? Ammetto di avere una gran confusione in testa con tutte queste pseudo-derivate
Rispondo all'ultima questione che e' semplice.
Nella formula $-\int_{RR}H(x)\phi'(x)dx=\phi(0)$
si usa solo la formula di integrazione per parti standard - unita a delle semplici osservazioni. In effetti se noti che
$-\int_{RR}H(x)\phi'(x)dh=-\int_0^{+\infty}\phi'(x)dx$
il resto dovrebbe apparirti evidente.
Riguardo alla densita' cio' che devi sapere e' che
se $\phi\in C_c^1(RR)$ esiste una successione ${\phi_n}$ in $C_c^\infty(RR)$ tale che $\phi_n\to\phi$ e $\phi_n'\to\phi'$ in $L^q(RR)$, dove $q$ e' il coniugato di $p$.
Se sai questo, da
$-\int_{RR}f(x)\phi'(x)dx=\int_{RR}g(x)\phi(x)dx$ per ogni $\phi$ in $C_c^\infty$
passi immediatamente a
$-\int_{RR}f(x)\phi'(x)dx=\int_{RR}g(x)\phi(x)dx$ per ogni $\phi$ in $C_c^1$
(data $\phi$ prendi le $\phi_n$ che convergono a $\phi$ nel senso detto sopra, scrivi la relazione per le $\phi_n$ e passi al limite). Per provare la densita' ci sono delle tecniche standard ... (probabilmente le vedrai)
Riguardo alla continuita' delle funzioni $W^{1,p}$ la questione e' un po' lunga e forse te la spieghera' il prof. - tutto sta a dimostrare che se $f'$ e' la derivata debole di $f$ allora esiste una costante C tale che
$f(x)=\int_0^xf'(t)dt+ C$ per quasi ogni $x$.
Se ho tempo piu' tardi cerco di ricostruire la dim.
Comunque per capire se $1/x^\alpha$ e' o non e' in $W^{1,p}$ si fanno dei conti....
A risentirci
Nella formula $-\int_{RR}H(x)\phi'(x)dx=\phi(0)$
si usa solo la formula di integrazione per parti standard - unita a delle semplici osservazioni. In effetti se noti che
$-\int_{RR}H(x)\phi'(x)dh=-\int_0^{+\infty}\phi'(x)dx$
il resto dovrebbe apparirti evidente.
Riguardo alla densita' cio' che devi sapere e' che
se $\phi\in C_c^1(RR)$ esiste una successione ${\phi_n}$ in $C_c^\infty(RR)$ tale che $\phi_n\to\phi$ e $\phi_n'\to\phi'$ in $L^q(RR)$, dove $q$ e' il coniugato di $p$.
Se sai questo, da
$-\int_{RR}f(x)\phi'(x)dx=\int_{RR}g(x)\phi(x)dx$ per ogni $\phi$ in $C_c^\infty$
passi immediatamente a
$-\int_{RR}f(x)\phi'(x)dx=\int_{RR}g(x)\phi(x)dx$ per ogni $\phi$ in $C_c^1$
(data $\phi$ prendi le $\phi_n$ che convergono a $\phi$ nel senso detto sopra, scrivi la relazione per le $\phi_n$ e passi al limite). Per provare la densita' ci sono delle tecniche standard ... (probabilmente le vedrai)
Riguardo alla continuita' delle funzioni $W^{1,p}$ la questione e' un po' lunga e forse te la spieghera' il prof. - tutto sta a dimostrare che se $f'$ e' la derivata debole di $f$ allora esiste una costante C tale che
$f(x)=\int_0^xf'(t)dt+ C$ per quasi ogni $x$.
Se ho tempo piu' tardi cerco di ricostruire la dim.
Comunque per capire se $1/x^\alpha$ e' o non e' in $W^{1,p}$ si fanno dei conti....
A risentirci
Ti ringrazio molto per la pazienza.
In effetti le conoscenze pregresse che ho dell'analisi non sono sufficienti (o non sufficientemente solide) per avere una visione del tutto chiara della faccenda e sto facendo grandi sforzi per capire l'Analisi funzionale, almeno in modo intuitivo laddove sarebbe troppo complicato voler formalizzare. C'è anche da dire che il corso ormai è praticamente terminato (manca una sola lezione) e dunque sugli spazi di Sobolev non si andrà granché oltre. Per il momento credo di aver ricevuto spiegazioni sufficienti per una comprensione adeguata al livello di dettaglio richiestomi (siamo studenti di Ingegneria e un po' di "comprensione" è lecita, pur senza richiedere sconti).
Fermo restando che sicuramente, andando avanti con lo studio degli appunti, usciranno fuori nuove perplessità riguardo gli spazi di Sobolev
In effetti le conoscenze pregresse che ho dell'analisi non sono sufficienti (o non sufficientemente solide) per avere una visione del tutto chiara della faccenda e sto facendo grandi sforzi per capire l'Analisi funzionale, almeno in modo intuitivo laddove sarebbe troppo complicato voler formalizzare. C'è anche da dire che il corso ormai è praticamente terminato (manca una sola lezione) e dunque sugli spazi di Sobolev non si andrà granché oltre. Per il momento credo di aver ricevuto spiegazioni sufficienti per una comprensione adeguata al livello di dettaglio richiestomi (siamo studenti di Ingegneria e un po' di "comprensione" è lecita, pur senza richiedere sconti).
Fermo restando che sicuramente, andando avanti con lo studio degli appunti, usciranno fuori nuove perplessità riguardo gli spazi di Sobolev
"Kroldar":
Ti ringrazio molto per la pazienza.
In effetti le conoscenze pregresse che ho dell'analisi non sono sufficienti (o non sufficientemente solide) per avere una visione del tutto chiara della faccenda e sto facendo grandi sforzi per capire l'Analisi funzionale, almeno in modo intuitivo laddove sarebbe troppo complicato voler formalizzare. C'è anche da dire che il corso ormai è praticamente terminato (manca una sola lezione) e dunque sugli spazi di Sobolev non si andrà granché oltre. Per il momento credo di aver ricevuto spiegazioni sufficienti per una comprensione adeguata al livello di dettaglio richiestomi (siamo studenti di Ingegneria e un po' di "comprensione" è lecita, pur senza richiedere sconti).
Fermo restando che sicuramente, andando avanti con lo studio degli appunti, usciranno fuori nuove perplessità riguardo gli spazi di Sobolev
Non avevo capito che eri uno studente di ingegneria - se vuoi tornare su qualche punto in maniera piu' "qualitativa" chiedi pure (il fine settimana ho un po' di tempo...
)
Per ora il dubbio principale che mi permane riguarda la continuità. Ho da poco dato un occhio al teorema del rappresentante continuo, che dice che per ogni $u in W^(1,p)$ esiste $hat u in C(bar I)$ tale che $u = hat u$ q.o. (e inoltre risulta una certa proprietà sull'integrale).
Ma allora una funzione in $W^(1,p)$ può anche non essere continua su $bar I$, altrimenti il teorema del rappresentante continuo sarebbe inutile? Invece dai discorsi precedenti mi era parso di capire che la condizione $u in C(bar I)$ fosse condizione necessaria per l'appartenenza di $u$ a $W^(1,p)$.
Ma allora una funzione in $W^(1,p)$ può anche non essere continua su $bar I$, altrimenti il teorema del rappresentante continuo sarebbe inutile? Invece dai discorsi precedenti mi era parso di capire che la condizione $u in C(bar I)$ fosse condizione necessaria per l'appartenenza di $u$ a $W^(1,p)$.
"Kroldar":
Per ora il dubbio principale che mi permane riguarda la continuità. Ho da poco dato un occhio al teorema del rappresentante continuo, che dice che per ogni $u in W^(1,p)$ esiste $hat u in C(bar I)$ tale che $u = hat u$ q.o. (e inoltre risulta una certa proprietà sull'integrale).
Ma allora una funzione in $W^(1,p)$ può anche non essere continua su $bar I$, altrimenti il teorema del rappresentante continuo sarebbe inutile? Invece dai discorsi precedenti mi era parso di capire che la condizione $u in C(bar I)$ fosse condizione necessaria per l'appartenenza di $u$ a $W^(1,p)$.
Se capisco il dubbioti confermo che "a priori" la definizione di derivata debole non implica per nulla la continuita'. Tant'e' che in piu' variabili, con una definizione analoga, le funzioni con derivata debole integrabile non sono necessariamente continue.
In una variabile invece si dimostra la formula che avevo scritto (a meno di una costante "la funzione e' l'integrale della derivata") che ti da' la continuita' della funzione
Ma la derivata debole cos'è? La derivata distribuzionale?
Ti faccio una domanda: prendiamo una funzione $u in W^(1,p)(I)$ che supponiamo continua, prendiamo un punto $bar x in I$ e modifichiamo il valore di $u$ nel punto $bar x$ in modo che la funzione non risulti continua in $bar x$. Allora la funzione costruita non è continua su $I$, ma non è ancora in $W^(1,p)(I)$ dato che l'integrale non distingue funzioni coincidenti q.o.?
Ti faccio una domanda: prendiamo una funzione $u in W^(1,p)(I)$ che supponiamo continua, prendiamo un punto $bar x in I$ e modifichiamo il valore di $u$ nel punto $bar x$ in modo che la funzione non risulti continua in $bar x$. Allora la funzione costruita non è continua su $I$, ma non è ancora in $W^(1,p)(I)$ dato che l'integrale non distingue funzioni coincidenti q.o.?
"Kroldar":
Ma la derivata debole cos'è? La derivata distribuzionale?
Si' (scusa se ho usato una terminologia diversa) - anche se non e' nececessario pensare che ci siano le distribuzioni.
Dico che una funzione $g$ e' la derivata debole di un'altra funzione $f$ (entrambe basta siano integrabili sugli intervalli) se
$-\int_{RR}f(x)\phi'(x)dx=\int_{RR}g(x)\phi(x) dx$ per ogni "test" $\phi$ in $C_c^\infty(RR)$ (e sarebbe lo stesso chiederlo per ogni $\phi$ in $C_c^\infty$, come si era detto).
Questa definizione non da' (a priori) la continuita' di $f$, anche se poi la cosa e' vera per il fatto che siamo in una variabile.
Tutto chiaro.
Per favore, puoi rispondere anche alla seconda domanda del mio ultimo post? In sostanza è quello il mio cruccio.
Per favore, puoi rispondere anche alla seconda domanda del mio ultimo post? In sostanza è quello il mio cruccio.
"Kroldar":
Tutto chiaro.
Per favore, puoi rispondere anche alla seconda domanda del mio ultimo post? In sostanza è quello il mio cruccio.
Non mi ero accorto della seconda domanda ...
Se prendi una funzione e la modifichi in un punto, dal punto di vista di $W^{1,p}$ (o di $L^p$) la nuova funzione e' LA STESSA di prima - visto che, come dici tu, le funzioni sono definite a meno di quasi ovunque.
Anche quando dici che una funzione $f$ di $W^{1,p}$ e' continua cio' significa che esiste una funzione continua $g$ tale che $f$ e' quasi ovunque eguale a $g$ - detto in matematichese
un elemento di $W^{1,p}$ in realta' non e' una funzione singola ma una classe di equivalenza di funzioni quasi ovunque uguali tra loro - sceglierne una significa scegliere un rappresentante di tale elemento. Dire che un elemento di $W^{1,2}$ e' continuo significa che c'e' un rappresentante continuo per quell'elemento.
Perfetto. In sostanza quello che dicevi tu, cioè che ogni funzione in $W^(1,p)$ è continua, vuol dire che ogni elemento di $W^(1,p)$ ha nella propria classe di equivalenza un rappresentante continuo. Praticamente, poco dopo che tu hai esposto questo fatto, mi sono imbattuto in quel teorema e non avevo ben afferrato che l'enunciato di tale teorema coincideva con quello che cercavi di spiegarmi tu. Ora tutto quadra!
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