Spazi di Hilbert
Mi trovo davanti un esempio, e proprio non mi viene perchè:
Dato lo spazio vettoriale di tutte le funzioni complesse continue definite in [tex][0,1][/tex], se lo dotiamo di questo prodotto interno(o scalare che dir si voglia) dato da:
[tex](f,g)=\int_0^1 f(t)\overline{g(t)}dt[/tex]
allora non è uno spazio di Hilbert.
Ho pensato alla completezza, sarà certamente una stupidaggine, ma proprio non mi viene.
Quel prodotto interno soddisfa tutte le ipotesi per uno spazio unitario, allora sarà la completezza ho pensato, ma non mi viene un esempio...
Qualche anima pia che avesse un idea?
Grazie anticipato
PS
Tratto da Walter Rudin (Real and complex analysis capitolo IV, par. 4.5)
Dato lo spazio vettoriale di tutte le funzioni complesse continue definite in [tex][0,1][/tex], se lo dotiamo di questo prodotto interno(o scalare che dir si voglia) dato da:
[tex](f,g)=\int_0^1 f(t)\overline{g(t)}dt[/tex]
allora non è uno spazio di Hilbert.
Ho pensato alla completezza, sarà certamente una stupidaggine, ma proprio non mi viene.
Quel prodotto interno soddisfa tutte le ipotesi per uno spazio unitario, allora sarà la completezza ho pensato, ma non mi viene un esempio...
Qualche anima pia che avesse un idea?
Grazie anticipato
PS
Tratto da Walter Rudin (Real and complex analysis capitolo IV, par. 4.5)
Risposte
Ma certo che è la completezza. Non puoi escludere così le funzioni non continue: per esempio, se invece di $[0, 1]$ prendi $[-1, 1]$, puoi verificare che la successione $arctan(nx)$ è di Cauchy in questo tuo spazio di funzioni continue ma non converge.
Niente, non ci sono, con la metrica stabilita con quel prodotto scalare non converge alla costante $1$ in $[0,1]$?
Comunque ho capito dove cercare grazie!
Comunque ho capito dove cercare grazie!
Se hai studiato la teoria è facile, anche senza fabbricare esempi concreti.
Chiediti: qual è la norma indotta su [tex]$C([0,1])$[/tex] dal prodotto scalare? Com'è lo spazio topologico [tex]$[0,1]$[/tex]? In che relazione stanno [tex]$C([0,1])$[/tex] e gli [tex]$L^p([0,1])$[/tex] con [tex]$p<+\infty$[/tex]?
Risposto a queste domande basta mettere insieme i pezzi per risolvere.
Chiediti: qual è la norma indotta su [tex]$C([0,1])$[/tex] dal prodotto scalare? Com'è lo spazio topologico [tex]$[0,1]$[/tex]? In che relazione stanno [tex]$C([0,1])$[/tex] e gli [tex]$L^p([0,1])$[/tex] con [tex]$p<+\infty$[/tex]?
Risposto a queste domande basta mettere insieme i pezzi per risolvere.
$[0,1]$ spazio di hausdorff localmente compatto(anzi compatto), $C([0,1])$ quindi è denso in $L^p$, qundi di funzioni non continue ma sommabili(p=1) in $[0,1]$, quante ne voglio.
Thanks gugo and dissonance.
[edit] errata corrige: anzi qui mi serve p=2
Thanks gugo and dissonance.
[edit] errata corrige: anzi qui mi serve p=2
Esatto.
Per dirla bene: se [tex]$C([0,1])$[/tex] fosse [tex]$\lVert \cdot \rVert_2$[/tex]-completo, allora dovrebbe essere [tex]$C([0,1])=L^2([0,1])$[/tex], ma ciò è assurdo.
Per fare una dimostrazione col controesempio, invece, prova a vedere cosa succede quando consideri la successione:
[tex]$u_n(x):=\min \{ 1, n|x-\tfrac{1}{2}|\}$[/tex].
Per dirla bene: se [tex]$C([0,1])$[/tex] fosse [tex]$\lVert \cdot \rVert_2$[/tex]-completo, allora dovrebbe essere [tex]$C([0,1])=L^2([0,1])$[/tex], ma ciò è assurdo.
Per fare una dimostrazione col controesempio, invece, prova a vedere cosa succede quando consideri la successione:
[tex]$u_n(x):=\min \{ 1, n|x-\tfrac{1}{2}|\}$[/tex].
Gugo, ma anche quella converge, con la metrica di cui sopra, alla funzione costante $1$. Comunque come funzione con $L^2$ norma finita, misurabile in quello spazio(misura di lebesgue), va bene, per fare un esempio, una funzione costante che in un sol punto, od in un numero finito di punti ha un valore diverso. La fuunzione è misurabile ed è certamente in $L^2$.
Ma $lim_{n \to \infty} arctan(nx)$ lo hai calcolato? Quanto fa?
Comunque certo il limite non è $1$ 
sorry, ma $pi/2$.
Io comunque intendevo questa metrica:
[tex]||artcg(nx) - {\pi \over{2}} || = \sqrt{\int_0^1 [arctg(nx) - \pi/2]^2 dx}[/tex]
Quando $n$ è sufficientemente grande quell'integrale è più piccolo di una quantità [tex]\epsilon >0[/tex] a piacere, oppure la misura dell'insieme in cui la differenza tra l'arcotangente e $pi/2$ è non trascurabile, tende a zero.
Quindi secondo me converge a $pi/2$(scusa non $1$), quella di Gugo vale $1$.
sorry, ma $pi/2$.Io comunque intendevo questa metrica:
[tex]||artcg(nx) - {\pi \over{2}} || = \sqrt{\int_0^1 [arctg(nx) - \pi/2]^2 dx}[/tex]
Quando $n$ è sufficientemente grande quell'integrale è più piccolo di una quantità [tex]\epsilon >0[/tex] a piacere, oppure la misura dell'insieme in cui la differenza tra l'arcotangente e $pi/2$ è non trascurabile, tende a zero.
Quindi secondo me converge a $pi/2$(scusa non $1$), quella di Gugo vale $1$.
Quello è per $x$ positive. E per $x=0$? Inoltre io parlavo di funzioni definite in $[-1, 1]$: quindi ci sono da considerare anche $x$ negative.
"dissonance":
Quello è per $x$ positive. E per $x=0$? Inoltre io parlavo di funzioni definite in $[-1, 1]$: quindi ci sono da considerare anche $x$ negative.
In $[-1,1]$ ok, abbiamo discontinuità del limite. thanks
"regim":
Gugo, ma anche quella converge, con la metrica di cui sopra, alla funzione costante $1$.
Mmmm, hai ragionissima... Sono un po' distratto ultimamente.
Vabbè, prendi:
[tex]$u_n(x):=\begin{cases} 0 &\text{, se $0\leq x \leq \frac{1}{2}$} \\ n(x-\frac{1}{2}) &\text{, se $\frac{1}{2}\leq x \leq \frac{1}{2}+\frac{1}{n}$} \\ 1 &\text{, se $\frac{1}{2}+\frac{1}{n} \leq x\leq 1$}\end{cases}$[/tex]
(o, se vuoi fare il figo, [tex]$u_n(x):=\tfrac{1}{2}+\text{T}_\frac{1}{2} (n(x-\tfrac{1}{2}) -\tfrac{1}{2})$[/tex]*).
In tal modo [tex]$u_n \stackrel{L^2}{\to} \chi_{]\frac{1}{2} ,1]}$[/tex], che non è continua.
__________
* Qui:
[tex]$T_\alpha (y) =\begin{cases} -\alpha &\text{, se $y\leq -\alpha$} \\ y &\text{, se $-\alpha \leq y\leq \alpha$} \\ \alpha &\text{, se $y\geq \alpha$} \end{cases}$[/tex]
è l'operatore di troncatura al livello [tex]$\alpha >0$[/tex].
Per inciso quest'ultima tua risposta mi ricorda, anzi è, la dimostrazione dell'integrabilità secondo riemann di una funzione continua su un K-simplesso canonico e nulla fuori, in questo caso un 1-simplesso canonico, forse meglio dire un 1-simplesso affine, visto che parliamo di una funzione(il limite di una successione) che di fatto è continua sul segmento [tex][1/2,1][/tex] nulla fuori e discontinua nel punto [tex]x=1/2[/tex].
Anche quella di dissonance è una dimostrazione in tal senso, sebbene usi l'arcotangente invece di funzioni lineari, in pratica un esercizio sul baby rudin richiedeva una dimostrazione simile.
Grazie per le risposte
Anche quella di dissonance è una dimostrazione in tal senso, sebbene usi l'arcotangente invece di funzioni lineari, in pratica un esercizio sul baby rudin richiedeva una dimostrazione simile.
Grazie per le risposte
Ma che interpretazione pesante, regim... Entrambi gli esempi sono successioni di funzioni continue che convergono puntualmente ad una funzione a gradino. Quello di gugo poi è particolarmente semplice da capire vedendo qualche grafico: per ogni $f_n$ c'è un segmento su cui è identicamente nulla, poi sale linearmente ad $1$ (il grafico forma una specie di rampa) e quando ci arriva resta identicamente uguale ad $1$. Con ogni $n$ aumenta la pendenza della rampa: al limite, la rampa diventa un gradino. Fine. No?
"dissonance":
Ma che interpretazione pesante, regim...
alla prossima.
[OT]
Salute!
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