Spazi di funzioni

CiUkInO1
Salve a tutti....avrei una domanda (credo molto stupida) della quale però vorrei avere il vostro parere.

Se $ f(x) \in L^p \rightarrow f(x) \in L_{Loc}^p$

Qlc mi puo aiutare...io non ne sono molto convinto di questa cosa ...

Magari con qlc esampio....Grazie

Risposte
amel3
Niente è stupido, figuriamoci questo... La tua intuizione è vera, in quanto segue dalle stesse definizioni: se una funzione f sta in $L^p(Omega)$, allora è chiaro che l'integrale di $|f|^p$ è finito qualunque sia K sottoinsieme di $Omega$, in particolare figuriamoci se K è compatto. Tutto ciò segue dalla semplice disuguaglianza seguente.
Sia $Omega$ misurabile in $RR^N$ e sia K contenuto in $Omega$. Allora per ogni funzione g sommabile definita su $Omega$ a valori reali o complessi:
$int_K |g(x)| dx <=int_Omega |g(x)| dx$

E' chiaro che non vale il viceversa. Un esempio? La funzione $f(x)=1/x$ è localmente sommabile su $(0,+oo)$, ma non sommabile...

Scommetto che non sono stato chiaro per niente... :-D

CiUkInO1
E' chiaro che non vale il viceversa. Un esempio? La funzione $f(x)=1/x$ è localmente sommabile su $(0,+oo)$, ma non sommabile...


Non ne sono molto convinto,da quello che mi risulta $f(x)=1/x^a$ $\in L_{Loc}^1$ solo se a < 1

Sbaglio?!?

Sk_Anonymous
Infatti è così come tu dici, CiUkInO. Però è anche vero che a tutto c'è rimedio: la funzione $[1, +\infty[ \to \mathbb{R}:$ $x \to 1/x$ è di classe $L_{Loc}^1([1, +\infty[)$, ma non $L^1([1, +\infty[)$.

CiUkInO1
Infatti è così come tu dici, CiUkInO. Però è anche vero che a tutto c'è rimedio: la funzione $[1, +\infty[ \to \mathbb{R}:$ $x \to 1/x$ è di classe $L_{Loc}^1([1, +\infty[)$, ma non $L^1([1, +\infty[)$.


Scusa se insisto,ma la cosa non mi torna.....mi spiego meglio

$int_-infty^(+infty) |1/x| dx = -1/x^2 =[-0 +0]=0$

quindi anche in un sottoinsieme $[1 ; +infty ]$ Ho $int_1^(+infty) |1/x| dx = -1/x^2 =[-0 +1]=1$

Dove sbaglio?

Grazie della pazienza.

CiUkInO1
MMMMM

Chiedo scusa per la Stronzata che ho scritto...

Xò rovesciamo il problema...

$f(x)=1/x^2 $ teoricamente non è di classe $L_{Loc}^1$ in quanto non è integrabile in un intorno di zero.

Però $int_-infty^(+infty) |1/x^2| dx = -1/x =[-0 +0]=0 $ quindi apparentemente questa funzione è di classe $L^1 $ ma non di classe $L_{Loc}^1$

MA teoricamente questo non è possibile.....Giusto?!?!

O sto dicendo l'ennesima "stronzata"????

Sk_Anonymous
"CiUkInO":
$f(x)=1/x^2 $ teoricamente non è di classe $L_{Loc}^1$ in quanto non è integrabile in un intorno di zero.

Quel che scrivi non ha senso, se non specifichi dove s'intende definita la funzione. Chiaramente $f: [1, 2[ \to \mathbb{R}:$ $x \to 1/x^2$ è di classe $L^1([1, 2[)$, quindi automaticamente $L_{loc}^1([1, 2[)$. E però $g: ]0, +\infty[ \to \mathbb{R}:$ $x \to 1/x^2$ non è di classe $L^1(]0, +\infty[)$, pur essendo $L_{loc}^1(]0, +\infty[)$. Infatti $g$ è integrabile in ogni compatto $[a,b]\subseteq ]0, +\infty[$.

CiUkInO1
Intendevo $L^1(R)$ perchè se faccio $int_-infty^(+infty) |1/x^2| dx$ risulta un valore finito...e quindi perchè non è di classe $L^1(R)$


Scusa la mia testardaggine...spero di non aver abusato della tua pazienza :-D

CiUkInO1
Chiedo venia per le "stronzate" che ho scritto....

Merito la fucilazione :-D

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