Spazi di funzioni
Salve a tutti....avrei una domanda (credo molto stupida) della quale però vorrei avere il vostro parere.
Se $ f(x) \in L^p \rightarrow f(x) \in L_{Loc}^p$
Qlc mi puo aiutare...io non ne sono molto convinto di questa cosa ...
Magari con qlc esampio....Grazie
Se $ f(x) \in L^p \rightarrow f(x) \in L_{Loc}^p$
Qlc mi puo aiutare...io non ne sono molto convinto di questa cosa ...
Magari con qlc esampio....Grazie
Risposte
Niente è stupido, figuriamoci questo... La tua intuizione è vera, in quanto segue dalle stesse definizioni: se una funzione f sta in $L^p(Omega)$, allora è chiaro che l'integrale di $|f|^p$ è finito qualunque sia K sottoinsieme di $Omega$, in particolare figuriamoci se K è compatto. Tutto ciò segue dalla semplice disuguaglianza seguente.
Sia $Omega$ misurabile in $RR^N$ e sia K contenuto in $Omega$. Allora per ogni funzione g sommabile definita su $Omega$ a valori reali o complessi:
$int_K |g(x)| dx <=int_Omega |g(x)| dx$
E' chiaro che non vale il viceversa. Un esempio? La funzione $f(x)=1/x$ è localmente sommabile su $(0,+oo)$, ma non sommabile...
Scommetto che non sono stato chiaro per niente...
Sia $Omega$ misurabile in $RR^N$ e sia K contenuto in $Omega$. Allora per ogni funzione g sommabile definita su $Omega$ a valori reali o complessi:
$int_K |g(x)| dx <=int_Omega |g(x)| dx$
E' chiaro che non vale il viceversa. Un esempio? La funzione $f(x)=1/x$ è localmente sommabile su $(0,+oo)$, ma non sommabile...
Scommetto che non sono stato chiaro per niente...

E' chiaro che non vale il viceversa. Un esempio? La funzione $f(x)=1/x$ è localmente sommabile su $(0,+oo)$, ma non sommabile...
Non ne sono molto convinto,da quello che mi risulta $f(x)=1/x^a$ $\in L_{Loc}^1$ solo se a < 1
Sbaglio?!?
Infatti è così come tu dici, CiUkInO. Però è anche vero che a tutto c'è rimedio: la funzione $[1, +\infty[ \to \mathbb{R}:$ $x \to 1/x$ è di classe $L_{Loc}^1([1, +\infty[)$, ma non $L^1([1, +\infty[)$.
Infatti è così come tu dici, CiUkInO. Però è anche vero che a tutto c'è rimedio: la funzione $[1, +\infty[ \to \mathbb{R}:$ $x \to 1/x$ è di classe $L_{Loc}^1([1, +\infty[)$, ma non $L^1([1, +\infty[)$.
Scusa se insisto,ma la cosa non mi torna.....mi spiego meglio
$int_-infty^(+infty) |1/x| dx = -1/x^2 =[-0 +0]=0$
quindi anche in un sottoinsieme $[1 ; +infty ]$ Ho $int_1^(+infty) |1/x| dx = -1/x^2 =[-0 +1]=1$
Dove sbaglio?
Grazie della pazienza.
MMMMM
Chiedo scusa per la Stronzata che ho scritto...
Xò rovesciamo il problema...
$f(x)=1/x^2 $ teoricamente non è di classe $L_{Loc}^1$ in quanto non è integrabile in un intorno di zero.
Però $int_-infty^(+infty) |1/x^2| dx = -1/x =[-0 +0]=0 $ quindi apparentemente questa funzione è di classe $L^1 $ ma non di classe $L_{Loc}^1$
MA teoricamente questo non è possibile.....Giusto?!?!
O sto dicendo l'ennesima "stronzata"????
Chiedo scusa per la Stronzata che ho scritto...
Xò rovesciamo il problema...
$f(x)=1/x^2 $ teoricamente non è di classe $L_{Loc}^1$ in quanto non è integrabile in un intorno di zero.
Però $int_-infty^(+infty) |1/x^2| dx = -1/x =[-0 +0]=0 $ quindi apparentemente questa funzione è di classe $L^1 $ ma non di classe $L_{Loc}^1$
MA teoricamente questo non è possibile.....Giusto?!?!
O sto dicendo l'ennesima "stronzata"????
"CiUkInO":
$f(x)=1/x^2 $ teoricamente non è di classe $L_{Loc}^1$ in quanto non è integrabile in un intorno di zero.
Quel che scrivi non ha senso, se non specifichi dove s'intende definita la funzione. Chiaramente $f: [1, 2[ \to \mathbb{R}:$ $x \to 1/x^2$ è di classe $L^1([1, 2[)$, quindi automaticamente $L_{loc}^1([1, 2[)$. E però $g: ]0, +\infty[ \to \mathbb{R}:$ $x \to 1/x^2$ non è di classe $L^1(]0, +\infty[)$, pur essendo $L_{loc}^1(]0, +\infty[)$. Infatti $g$ è integrabile in ogni compatto $[a,b]\subseteq ]0, +\infty[$.
Intendevo $L^1(R)$ perchè se faccio $int_-infty^(+infty) |1/x^2| dx$ risulta un valore finito...e quindi perchè non è di classe $L^1(R)$
Scusa la mia testardaggine...spero di non aver abusato della tua pazienza
Scusa la mia testardaggine...spero di non aver abusato della tua pazienza

Chiedo venia per le "stronzate" che ho scritto....
Merito la fucilazione
Merito la fucilazione
