Spazi di Banach e funzioni misurabili
Salve a tutti... Avrei bisogno di tre chiarimenti di analisi c:
X è l'insieme delle funzioni misurabili f: (0,1)->|R tali che $ (1/x)*|f(x)|^2 $ sia integrabile in (0,1).
Presa come norma di f la radice quadrata dell'integrale su (0,1) di $ (1/x)*|f(x)|^2 $,
dimostrare che X è completo rispetto alla metrica indotta dalla norma scelta.
T è un operatore lineare e continuo da R^2 in R^3 tale che $ T(x,y)=(2x-y,5y,-4x) $. Qual è la sua norma in L(R^2,R^3)?
Qualcuno mi potrebbe dimostrare questo risultato?
Si ha uno spazio di misura. Se f è una funzione misurabile, allora le contoimmagini dei boreliani sono misurabili secondo Lebesgue.
(Avendo definito una funzione misurabile come una funzione alla quale tende m-q.o. una successione di funzioni a scala)
X è l'insieme delle funzioni misurabili f: (0,1)->|R tali che $ (1/x)*|f(x)|^2 $ sia integrabile in (0,1).
Presa come norma di f la radice quadrata dell'integrale su (0,1) di $ (1/x)*|f(x)|^2 $,
dimostrare che X è completo rispetto alla metrica indotta dalla norma scelta.
T è un operatore lineare e continuo da R^2 in R^3 tale che $ T(x,y)=(2x-y,5y,-4x) $. Qual è la sua norma in L(R^2,R^3)?
Qualcuno mi potrebbe dimostrare questo risultato?
Si ha uno spazio di misura. Se f è una funzione misurabile, allora le contoimmagini dei boreliani sono misurabili secondo Lebesgue.
(Avendo definito una funzione misurabile come una funzione alla quale tende m-q.o. una successione di funzioni a scala)
Risposte
@PWD: Salve!
Vedo che sei nuovo. Per favore, leggi con attenzione questo avviso e cerca di regolarti di conseguenza.
In particolare, gli esercizi proposti non sembrano difficilissimi se hai un minimo di familiarità con la teoria; quindi potresti anche proporre qualche idea o mostrarci qualche passaggio (se hai fatto qualche conticino).
Vedo che sei nuovo. Per favore, leggi con attenzione questo avviso e cerca di regolarti di conseguenza.
In particolare, gli esercizi proposti non sembrano difficilissimi se hai un minimo di familiarità con la teoria; quindi potresti anche proporre qualche idea o mostrarci qualche passaggio (se hai fatto qualche conticino).
Scusate, ho l'esame molto a breve e sono sempre di fretta, non ho letto prima le regole...
Per quanto riguarda il risultato sui boreliani, non saprei da dove partire, nel senso che è un teorema che il professore ha dimostrato in classe, ma non sono poi riuscita a chiedere gli appunti...
Per la norma dell'operatore, ho trovato, per la definizione di norma, che devo massimizzare in $ R^2 $ la funzione $ (20x^2+26y^2-4xy)/(x^2+y^2) $ . Non ci riesco con il metodo solito annullando il gradiente, quindi volevo sapere se magari c'è proprio un'altra strada.
Per quanto riguarda la completezza di X, ho scritto una successione che verifica la condizione di Cauchy, ma non ne esco... Al massimo ho dimostrato che $f_n$ converge in $ L^2 $ , ma non riesco a dedurne la convergenza in X...
Per quanto riguarda il risultato sui boreliani, non saprei da dove partire, nel senso che è un teorema che il professore ha dimostrato in classe, ma non sono poi riuscita a chiedere gli appunti...
Per la norma dell'operatore, ho trovato, per la definizione di norma, che devo massimizzare in $ R^2 $ la funzione $ (20x^2+26y^2-4xy)/(x^2+y^2) $ . Non ci riesco con il metodo solito annullando il gradiente, quindi volevo sapere se magari c'è proprio un'altra strada.
Per quanto riguarda la completezza di X, ho scritto una successione che verifica la condizione di Cauchy, ma non ne esco... Al massimo ho dimostrato che $f_n$ converge in $ L^2 $ , ma non riesco a dedurne la convergenza in X...
Ho aggiustato il MathML (non mettere il backslash davanti al dollaro se vuoi inserire una formula).
Dunque per mostrare che $X$ è completo la strada che stai seguendo ti porterebbe a ridimostrare il teorema di completezza di $L^2(0, 1)$. Perché invece non provi a costruire un isomorfismo isometrico tra $X$ e $L^2(0, 1)$? (def: Per isomorfismo isometrico intendo una applicazione lineare bigettiva e che conserva la norma. Chiaro che se due spazi normati sono isomorfi in questo senso allora uno è completo se e solo se lo è anche l'altro.)
Per la norma di $T$ puoi risparmiare fatica usando il metodo dei moltiplicatori di Lagrange.
Per le controimmagini dei boreliani, è esattamente la stessa tecnica che usi in topologia, quando dimostri che per verificare la continuità di una applicazione $f: T \to S$ è sufficiente che $f^{-1}(B)$ sia aperto in $T$ per ogni $B$ in una base di $S$.
Sia $f: T \to S$ dove $T$ è uno spazio di misura e $S$ uno spazio topologico, la cui famiglia degli aperti indichiamo con $tau$. Sia $\sigma(tau)$ la sigma-algebra generata da $tau$. Chiama $Omega$ la sigma-algebra in $S$ ${B \ :\ f^{-1}(B) "è misurabile in "T }$; se $f$ è misurabile (nel senso che $f^{-1}(A)$ è misurabile in $M$ per ogni $A \in \tau$) allora questa sigma-algebra contiene gli aperti. Concludi usando la minimalità di $sigma(tau)$.
Dunque per mostrare che $X$ è completo la strada che stai seguendo ti porterebbe a ridimostrare il teorema di completezza di $L^2(0, 1)$. Perché invece non provi a costruire un isomorfismo isometrico tra $X$ e $L^2(0, 1)$? (def: Per isomorfismo isometrico intendo una applicazione lineare bigettiva e che conserva la norma. Chiaro che se due spazi normati sono isomorfi in questo senso allora uno è completo se e solo se lo è anche l'altro.)
Per la norma di $T$ puoi risparmiare fatica usando il metodo dei moltiplicatori di Lagrange.
Per le controimmagini dei boreliani, è esattamente la stessa tecnica che usi in topologia, quando dimostri che per verificare la continuità di una applicazione $f: T \to S$ è sufficiente che $f^{-1}(B)$ sia aperto in $T$ per ogni $B$ in una base di $S$.
Sia $f: T \to S$ dove $T$ è uno spazio di misura e $S$ uno spazio topologico, la cui famiglia degli aperti indichiamo con $tau$. Sia $\sigma(tau)$ la sigma-algebra generata da $tau$. Chiama $Omega$ la sigma-algebra in $S$ ${B \ :\ f^{-1}(B) "è misurabile in "T }$; se $f$ è misurabile (nel senso che $f^{-1}(A)$ è misurabile in $M$ per ogni $A \in \tau$) allora questa sigma-algebra contiene gli aperti. Concludi usando la minimalità di $sigma(tau)$.
Grazie mille!
L'isomorfismo isometrico credo di averlo trovato, quindi esercizio risolto.
I moltiplicatori di Lagrange non li ho mai utilizzati... Ho provato a capire cosa sono, ma non li riesco ad applicare in questo caso...
L'isomorfismo isometrico credo di averlo trovato, quindi esercizio risolto.
I moltiplicatori di Lagrange non li ho mai utilizzati... Ho provato a capire cosa sono, ma non li riesco ad applicare in questo caso...
Altra idea per il secondo problema.
Dalla teoria sai che:
[tex]$\lVert T\rVert =\max_{\{ x^2+y^2=1\}} |T(x,y)|$[/tex],
quindi, dato che:
[tex]$|T(x,y)| = \sqrt{2(10x^2+13y^2 -2xy)}$[/tex],
devi risolvere il problema di massimo:
[tex]$\max_{\{ x^2+y^2=1\}} \sqrt{2(10x^2+13y^2 -2xy)}$[/tex].
Tale problema si riduce ad un problema di massimo per una funzione di una sola variabile se parametrizzi il vincolo nel solito modo: in particolare, se fai un po' di conti, noterai che ti basterà massimizzare la funzione:
[tex]$3\sin^3 \vartheta -\sin 2\vartheta$[/tex] con [tex]$\vartheta \in [0,2\pi]$[/tex].
Per quanto riguarda il primo esercizio, non basta notare che [tex]$X$[/tex] è lo spazio [tex]$L^2$[/tex] associato alla misura definita ponendo:
[tex]$\mu (E):= \int_E \frac{1}{x}\ \text{d} x$[/tex]
per ogni [tex]$E\subseteq ]0,1[$[/tex] misurabile secondo Lebesgue?
In altre parole, mi pare che [tex]$f\in X$[/tex] se e solo se [tex]$f\in L^2 (]0,1[;\mu )$[/tex]*, quindi il risultato di completezza segue dal teorema astratto.
__________
* Qui uso la notazione [tex]$L^p(\Omega ;\mu)$[/tex] per denotare la classe [tex]\{ f:\Omega \to \mathbb{R}:\ \int_\Omega |f|^p\ \text{d} \mu <+\infty\}[/tex] quozientata come sappiamo.
Dalla teoria sai che:
[tex]$\lVert T\rVert =\max_{\{ x^2+y^2=1\}} |T(x,y)|$[/tex],
quindi, dato che:
[tex]$|T(x,y)| = \sqrt{2(10x^2+13y^2 -2xy)}$[/tex],
devi risolvere il problema di massimo:
[tex]$\max_{\{ x^2+y^2=1\}} \sqrt{2(10x^2+13y^2 -2xy)}$[/tex].
Tale problema si riduce ad un problema di massimo per una funzione di una sola variabile se parametrizzi il vincolo nel solito modo: in particolare, se fai un po' di conti, noterai che ti basterà massimizzare la funzione:
[tex]$3\sin^3 \vartheta -\sin 2\vartheta$[/tex] con [tex]$\vartheta \in [0,2\pi]$[/tex].
Per quanto riguarda il primo esercizio, non basta notare che [tex]$X$[/tex] è lo spazio [tex]$L^2$[/tex] associato alla misura definita ponendo:
[tex]$\mu (E):= \int_E \frac{1}{x}\ \text{d} x$[/tex]
per ogni [tex]$E\subseteq ]0,1[$[/tex] misurabile secondo Lebesgue?
In altre parole, mi pare che [tex]$f\in X$[/tex] se e solo se [tex]$f\in L^2 (]0,1[;\mu )$[/tex]*, quindi il risultato di completezza segue dal teorema astratto.
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* Qui uso la notazione [tex]$L^p(\Omega ;\mu)$[/tex] per denotare la classe [tex]\{ f:\Omega \to \mathbb{R}:\ \int_\Omega |f|^p\ \text{d} \mu <+\infty\}[/tex] quozientata come sappiamo.