Spazi di Banach

[Principe2]

si consideri lo spazio di Banach $l^{\infty}$. è vero che tutti i suoi sottospazi di Banach sono isomorfi ad un qualche $l^p$?

[SonjaKovaleskaja]

beh... e $c_0$?

quello è un sottospazio che è propriamente contenuto in tutti gli $l^p$... no?

[Principe2]

$c_0$ sono le successioni limitate che tendono a $0$ vero? Allora ad esempio $1/n$ sta in $c_0$ ma non in $l^1$ ...

[SonjaKovaleskaja]

urc... non è contenuto in tutti gli $l^p$...

(vabbeh dai... erano le tre di notte...)

comunque quello, $c_0$, non è isomorfo a nessun $l^p$ però è un sottospazio di $l^{\infty}$

[Principe2]

eh già... anche perchè non è contenuto in alcun $l^p$ (prendere $1/(n^{1/p})$)

[Principe2]

comunque questo esempio mostra solo che l'identità non è un isomorfismo ... fra l'altro non è neanche una isometria..

[gugo82]

"ubermensch":si consideri lo spazio di Banach $l^{\infty}$. è vero che tutti i suoi sottospazi di Banach sono isomorfi ad un qualche $l^p$?

Dato che gli $l^p$ sono riflessivi (per $pge 1$), forse bisogna cercare un sottospazio chiuso che non sia riflessivo. Sbaglio?

Ed infatti $c_0$ non è riflessivo: risultando $(c_0)^(**)=l^1$ ed $(l^1)^(**)=l^(oo)$, abbiamo $(c_0)^(****)=l^(oo)$ con $c_0$ sottospazio chiuso proprio di $l^(oo)$. (N.B.: ho usato $V^(**)$ per denotare il duale di $V$, dato che la notazione con l'apostrofo $V'$ non mi piace.)
Che ne dite?

[SonjaKovaleskaja]

era esattamente quello che intendevo io quando dicevo di considerare $c_0$...