Spazi di Banach
Devo provare che
sia $V$ uno spazio normato completo e $SsubseteqV$ un sottoinsieme chiuso, allora $S$ è completo
Sostanzialmente se ${s_n}_(n inNN)$ è una successione di Cauchy di $S$ sarà anche una successione di Cauchy di $V$ pertanto essendo completo vi sarà un certo $s inV$ tale che $s_n->s$ ma essendo chiuso $s inS$ quindi è completo.
Mi sembra troppo facile quindi non vorrei aver fatto errori inutili.
sia $V$ uno spazio normato completo e $SsubseteqV$ un sottoinsieme chiuso, allora $S$ è completo
Sostanzialmente se ${s_n}_(n inNN)$ è una successione di Cauchy di $S$ sarà anche una successione di Cauchy di $V$ pertanto essendo completo vi sarà un certo $s inV$ tale che $s_n->s$ ma essendo chiuso $s inS$ quindi è completo.
Mi sembra troppo facile quindi non vorrei aver fatto errori inutili.
Risposte
La dimostrazione è proprio questa. La dimostrazione sta usando solamente che lo spazio è completo, nessuna struttura vettoriale: se $V$ è uno spazio metrico completo, ogni suo chiuso è uno spazio metrico completo.
In effetti non c’era bisogno di usare gli spazi normati, bastava un semplice spazio metrico e ripetere pari pari la dimostrazione. Grazie 
In realtà vale anche: S è completo se e solo se S è chiuso. Qualche volta torna utile questo fatto, soprattutto in analisi funzionale
L’altra implicazione mi sembra ancora più banale
$S$ completo e ${s_n}$ convergente allora è di cauchy ma allora per completezza deve convergere a un punto dello spazio $S$ per definizione stessa di completezza. Quindi ogni successione convergente converge ad un punto dello spazio e quindi $S$ è chiuso.
$S$ completo e ${s_n}$ convergente allora è di cauchy ma allora per completezza deve convergere a un punto dello spazio $S$ per definizione stessa di completezza. Quindi ogni successione convergente converge ad un punto dello spazio e quindi $S$ è chiuso.
Volendo togliere tutte le ipotesi che è possibile togliere, nell'implicazione inversa che ha aggiunto Ernesto01, non è necessario che lo spazio ambiente sia completo, ovvero se $X$ è uno spazio metrico, $Y\subX$ è completo, allora $Y$ è chiuso.
Alla fine si mostra allo stesso modo 
È possibile dedurre dal fatto che in uno spazio normato una successione di Cauchy converga, allora il valore di convergenza sta nello spazio? Oppure è necessario prenderlo per definizione?
Equivalentemente è possibile trovare uno spazio normato avente una successione di Cauchy convergente il cui limite non sta nello spazio?
Pensavo a $QQ$ con la norma del valore assoluto. Dove una successione convergente a $sqrt2$ è di cauchy ma il limite non sta in $QQ$ ma non riesco a trovare tale successione
Equivalentemente è possibile trovare uno spazio normato avente una successione di Cauchy convergente il cui limite non sta nello spazio?
Pensavo a $QQ$ con la norma del valore assoluto. Dove una successione convergente a $sqrt2$ è di cauchy ma il limite non sta in $QQ$ ma non riesco a trovare tale successione
Ma lo sai che cosa è una successione convergente?
Certo, ma posso avere un dubbio?
Scusa la successione $a_n:NN->(1,+infty)$ definita come $a_n=2^(1/n)$ è di cauchy, converge ma la convergenza non sta in nell’insieme. Quindi o mi è partita qualcosa della definizione o non saprei
Scusa la successione $a_n:NN->(1,+infty)$ definita come $a_n=2^(1/n)$ è di cauchy, converge ma la convergenza non sta in nell’insieme. Quindi o mi è partita qualcosa della definizione o non saprei
"anto_zoolander":
Equivalentemente è possibile trovare uno spazio normato avente una successione di Cauchy convergente il cui limite non sta nello spazio?
"Il limite non sta nello spazio" significa, precisamente, che il limite non esiste. Quindi questa frase è una contraddizione in termini.
Anto, questo thread è una banalità sull'altra. Consiglio di ragionare su queste cose, e a fondo, perdendoci anche del tempo; ma da solo, senza esternare compulsivamente ogni scemenza che ti passa per la testa. Pensare scemenze va benissimo, io stesso ne penso a chili tutti i giorni, ma scriverle sistematicamente no.
Perfetto grazie
Non ho con chi confrontarmi, per questo lo faccio. Eviterò anche questo
Non ho con chi confrontarmi, per questo lo faccio. Eviterò anche questo
"anto_zoolander":
Certo, ma posso avere un dubbio?
Si, forse sono stato un po' troppo brusco.
Scusa la successione $a_n:NN->(1,+infty)$ definita come $a_n=2^(1/n)$ è di cauchy, converge ma la convergenza non sta in nell’insieme. Quindi o mi è partita qualcosa della definizione o non saprei
La convergenza o meno di una successione dipende anche in che spazio te la immagini immersa, nel senso che nel tuo caso non è convergente perché, vedendola come successione in $RR$ si vede che converge a $1$, ma non essendo $1$ nel tuo insieme (e per l'unicità del limite) non può tendere a nulla nel tuo spazio.
Grazie, era proprio quello che intendevo, mi era saltato un pezzo.
"anto_zoolander":
Perfetto grazie
Non ho con chi confrontarmi, per questo lo faccio. Eviterò anche questo
Non dico di non scrivere, ma di riflettere un po' di più da solo. Non ci credo che non ci potevi arrivare da solo a capire che "il limite non sta nello spazio" è lo stesso di "il limite non esiste", e non ci credo perché secondo me non sei affatto un cretino, anzi, ti dirò, parecchi tuoi interventi mi stanno piacendo e non poco. Per questo poi te ne esci con questo "prequèche" (come si dice a Bari) e io mi metto a fare il rompipalle.
[ot]C'è da dire che, è vero, quando commento sui tuoi post lo faccio sempre per darti in testa e mai per farti un complimento. E questo manco va bene.[/ot]
Tu lo sai, le uniche persone con cui parlo di matematica sono quì all'interno del forum e non frequento le lezioni(ovvero è tutta farina del mio sacco). A volte mi vengono dubbi stupidi solo per il bisogno compulsivo di far crollare le certezze
In un altro post, che forse non hai più visto, ti ho scritto che non sono per nulla soddisfatto e anzi piuttosto demoralizzato riguardo i miei studi.
Quindi finisco con il chiedere cose che magari so, solo per esserne più sicuro.
plus
[ot]tra l'altro nel resto delle mie cose sono una persona del tutto diversa, solo che la matematica mi fa questo effetto e non ne capisco il motivo.[/ot]
forse avrei bisogno soltanto di qualcuno con cui parlare di matematica per confrontarmi.
In un altro post, che forse non hai più visto, ti ho scritto che non sono per nulla soddisfatto e anzi piuttosto demoralizzato riguardo i miei studi.
Quindi finisco con il chiedere cose che magari so, solo per esserne più sicuro.
plus
[ot]tra l'altro nel resto delle mie cose sono una persona del tutto diversa, solo che la matematica mi fa questo effetto e non ne capisco il motivo.[/ot]
forse avrei bisogno soltanto di qualcuno con cui parlare di matematica per confrontarmi.
Per quanto non capisca le ragioni del non frequentare le lezioni (scrolla fino alla striscia di Snoopy), non condivido nemmeno le parole di dissonance. Secondo me implicitamente anto, con un po' di beneficio del dubbio, si e' posto il problema del completamento di uno spazio metrico (ha reagito positivamente alla risposta di otta, che parla di immersione), che non e' cosi' banale. Suggerisco la lettura di queste bellissime note, da pagina 77 in poi.
vado ad alcune, ma non tutte.
Con le idee un po' confuse ma in fondo era quella l'idea, grazie per il sostegno
Mi piace molto questo pdf che hai linkato, è molto chiaro.
Con le idee un po' confuse ma in fondo era quella l'idea, grazie per il sostegno
Mi piace molto questo pdf che hai linkato, è molto chiaro.
Un po' più formalmente, la categoria degli spazi metrici ha una sottocategoria (quelli completi) che è riflessiva: il completamento di Cauchy è esattamente quella isometria $X\to \overline X$ che include $X$ come sottospazio denso di \(C(X)/Z(X)\) (successioni di Cauchy modulo quelle infinitamente vicine), e tale per cui ogni morfismo di spazi metrici $X\to A$ si estende a $\overline X\to A$ se $A$ è completo.
"killing_buddha":
Un po' più formalmente, la categoria degli spazi metrici ha una sottocategoria (quelli completi) che è riflessiva: il completamento di Cauchy è esattamente quella isometria $X\to \overline X$ che include $X$ come sottospazio denso di \(C(X)/Z(X)\) (successioni di Cauchy modulo quelle infinitamente vicine), e tale per cui ogni morfismo di spazi metrici $X\to A$ si estende a $\overline X\to A$ se $A$ è completo.
Dopo questo commento sono andato a vedermi la definizione di sottocategoria riflessiva, e devo dire che mi è piaciuta molto, ma non ho capito perché hai scritto "e tale per cui ogni morfismo di spazi metrici $X\to A$ si estende a $\overline X\to A$ se $A$ è completo.", non fa parte della definizione stessa di sottocategoria riflessiva?
E visto che ci sono ti chiedo anche a proposito di un altro dubbio di quello che hai scritto: cosa intendi com morfismo di spazi metrici? Te lo chiedo perchè mi sembrava che di solito si prendessero come morfismi le funzioni lipschitziane, ma dovrebbe essere sufficiente la continuità uniforme per estendere una mappa al completamento (con immagine in uno spazio metrico completo).
"otta96":
non fa parte della definizione stessa di sottocategoria riflessiva?
Sì, certo.
E visto che ci sono ti chiedo anche a proposito di un altro dubbio di quello che hai scritto: cosa intendi com morfismo di spazi metrici? Te lo chiedo perchè mi sembrava che di solito si prendessero come morfismi le funzioni lipschitziane, ma dovrebbe essere sufficiente la continuità uniforme per estendere una mappa al completamento (con immagine in uno spazio metrico completo).
Non l'ho detto perché ci sono diverse scelte, infatti, e al momento non ricordavo cosa va preso.
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