Spazi con metrica Lagrangiana
Il mio libro ( Pagani - Salsa ), parlando degli spazi con metrica Lagrangiana, ad un certo punto dice che prendendo in considerazione l'insieme di tutte le funzioni di una variabile per le quali esiste una derivata prima ( C1(A) si dovrebbe chiamare ), se esso è trattato con la metrica Lagrangiana è uno spazio completo, mentre se trattato con la metrica dei massimi ( quindi con distanza definita come d = Max( |f(a)-g(a)| ) non è uno spazio completo. Esistono esempi di questo, ovvero esempi di successioni fondamentali di funzioni che con una metrica Lagrangiana convergono ma non convergono utilizzando la metrica dei massimi?
A me suona strano per il seguente motivo: essendo C1(A) un sottospazio dello spazio C0(A) delle funzioni continue, dato che C0(A) può essere trattato come completo con la metrica dei massimi anche per la metrica di Lagrange dovrebbe valere lo stesso. Dove sbaglio in questo ragionamento?
A me suona strano per il seguente motivo: essendo C1(A) un sottospazio dello spazio C0(A) delle funzioni continue, dato che C0(A) può essere trattato come completo con la metrica dei massimi anche per la metrica di Lagrange dovrebbe valere lo stesso. Dove sbaglio in questo ragionamento?
Risposte
Per "metrica Lagrangiana" che intendi?
Quella definita da \(d(u,v) = \sup |u-v| + \sup |u^\prime -v^\prime|\)?
Ad ogni modo, se \(A\) è aperto quella dell'estremo superiore non è nemmeno una metrica su \(C(A)\)... Ad esempio, se \(A=]0,1[\) allora \(u(x)\:=1/x,\ v(x):=0 \in C(A)\) però \(\sup_A |u-v| = +\infty\).
Quindi, in generale, la metrica dell'estremo superiore non è ben definita in \(C(A)\) se \(A\) non è compatto.
Inoltre, anche se ci mettiamo su \(A\) compatto, il sottospazio \(C^1(A)\) non è chiuso in \(C(A)\) rispetto alla norma dell'estremo superiore.
Ad esempio (classico esempio di Analisi II), se \(A=[-1,1]\) la successione di termine generale \(u_n(x):=\sqrt{x^2+\frac{1}{n}}\) è di Cauchy rispetto alla metrica dell'estremo superiore, è fatta da funzioni \(C^1\), però essa converge verso la funzione:
\[
u(x):=|x|
\]
che non sta in \(C^1(A)\).
Quella definita da \(d(u,v) = \sup |u-v| + \sup |u^\prime -v^\prime|\)?
Ad ogni modo, se \(A\) è aperto quella dell'estremo superiore non è nemmeno una metrica su \(C(A)\)... Ad esempio, se \(A=]0,1[\) allora \(u(x)\:=1/x,\ v(x):=0 \in C(A)\) però \(\sup_A |u-v| = +\infty\).
Quindi, in generale, la metrica dell'estremo superiore non è ben definita in \(C(A)\) se \(A\) non è compatto.
Inoltre, anche se ci mettiamo su \(A\) compatto, il sottospazio \(C^1(A)\) non è chiuso in \(C(A)\) rispetto alla norma dell'estremo superiore.
Ad esempio (classico esempio di Analisi II), se \(A=[-1,1]\) la successione di termine generale \(u_n(x):=\sqrt{x^2+\frac{1}{n}}\) è di Cauchy rispetto alla metrica dell'estremo superiore, è fatta da funzioni \(C^1\), però essa converge verso la funzione:
\[
u(x):=|x|
\]
che non sta in \(C^1(A)\).
Grazie per la risposta, ora mi è chiaro.
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