Spazi compatti
Una versione del teorema di Weierstrass è che ogni funzione continua $f: X\to \mathbb {R}$ definita su uno spazio topologico compatto $X \subseteq \mathbb{R}^n$ è limitata
Mi domando come dimostrare questo viceversa: Se $\forall f: X\to \mathbb {R}$ (con $X \subseteq \mathbb{R}^n$) continua, $f$ è limitata allora $X$ è compatto
Mi domando come dimostrare questo viceversa: Se $\forall f: X\to \mathbb {R}$ (con $X \subseteq \mathbb{R}^n$) continua, $f$ è limitata allora $X$ è compatto
Risposte
Ci ho provato ma avevo letto una cosa diversa. Questo non sono sicuro di saperlo fare. Sicuro che valga per uno spazio topologico qualunque?
Beh, \(X\) non è qualunque, è un compatto di \(\mathbb R^n\), quindi è T2; e forse si usa per forza il fatto che è T2. Se seii sicuro sia vero, ci pensiamo...
Sia $X$ un sottoinsieme di $\mathbb{R}^n$ con la topologia euclidea. Si dimostri che $X$ è compatto se e solo se per ogni funzione continua $f: X \to \mathbb{R}$ è limitata
"Galileo1729":
Mi domando come dimostrare questo viceversa: Se $\forall f: X\to \mathbb {R}$ (con $X \subseteq \mathbb{R}^n$) continua, $f$ è limitata allora $X$ è compatto
Ciao, mi sembra che si dimostri facilmente dimostrando che $X$ è chiuso e limitato. Per mostrare che $X$ è chiuso si può fare così: dato un punto $P in RR^n$ di accumulazione per $X$ e non appartenente a $X$ (per assurdo) consideriamo la funzione
$f:X to RR$,
$f(T) = 1/||T-P||$
dove $||T-P||$ indica la norma di $T-P$. Questa funzione è ben definita perché $P$ non sta in $X$ ed è continua e illimitata.
Per mostrare che $X$ è limitato si procede analogamente considerando $f(T)=||T||$.
Se invece $X$ non è contenuto in $RR^n$ non saprei ma a occhio direi che esistono controesempi.
Probabilmente la stessa dimostrazione va bene quasi verbatim se $X$ è metrizzabile, quindi i controesempi (che anche secondo me ci sono) sono molto esotici.
Gli spazi che soddisfano quella proprietà si chiamano pseudocompatti, e i legami tra i principali tipi di compattezza sono questi (in generale): compattezza e compattezza per successoni implicano compattezza numerabile, che a sua volta implica pseudocompattezza.
La cosa interessante è se, quando e come queste implicazioni si invertono (in particolare quella da compattezza a pseudocompattezza).
Per passare da pseudocompattezza a compattezza numerabile ci vuole che lo spazio sia normale (in realtà basta una proprietà un pochino più debole ma facciamo finta di nulla
), per poi passare da compattezza numerabile a compattezza serve la metacompattezza, che è implicata dalla paracompattezza che hanno tutti gli spazi metrici, quindi si, per gli spazi metrici vale l'equivalenza, anche se dimostrarlo non è proprio facilissimo (possiamo provare a farlo) se uno non conosce quello che ho detto prima e vuole trovare una strada diretta.
Una cosa secondo me fighissima è quella che succede passandoalle funzione semicontinue, che hanno il massimo o il minimo (a seconda della semicontinuità) se lo spazio è numerabilmente compatto, ma non necessariamente se è solo pseudocompatto.
La cosa interessante è se, quando e come queste implicazioni si invertono (in particolare quella da compattezza a pseudocompattezza).
Per passare da pseudocompattezza a compattezza numerabile ci vuole che lo spazio sia normale (in realtà basta una proprietà un pochino più debole ma facciamo finta di nulla
), per poi passare da compattezza numerabile a compattezza serve la metacompattezza, che è implicata dalla paracompattezza che hanno tutti gli spazi metrici, quindi si, per gli spazi metrici vale l'equivalenza, anche se dimostrarlo non è proprio facilissimo (possiamo provare a farlo) se uno non conosce quello che ho detto prima e vuole trovare una strada diretta.Una cosa secondo me fighissima è quella che succede passandoalle funzione semicontinue, che hanno il massimo o il minimo (a seconda della semicontinuità) se lo spazio è numerabilmente compatto, ma non necessariamente se è solo pseudocompatto.
Mi sembra che un controesempio sia $X=RR$ con la topologia cofinita (che ovviamente non è compatto [...dipende...vedi i prossimi interventi]). Ricordo che i chiusi di $X$ sono esattamente $X$ e i suoi sottoinsiemi finiti. Se $f:X to RR$ è continua e assume (almeno) due valori distinti $a$ e $b$ allora troviamo un intervallo chiuso $[r,s]$ che contiene $a$ nel suo interno e che non contiene $b$. La preimmagine di $[r,s]$ è un chiuso di $X$ (perché $f$ è continua), non è $X$ (a causa di $b$) e quindi è finita, d'altra parte la preimmagine di $(r,s)$ (intervallo aperto) è un aperto di $X$ (perché $f$ è continua), non è vuota (a causa di $a$) e quindi è infinita, assurdo. Quindi $f$ è costante.
Ma dici che non è compatto perchè nella definizione di compatto ci metti anche che sia $T_2$? Non mi piace molto come cosa anche se la capisco.
No è perché $RR$ è unione infinita disgiunta di insiemi infiniti, per esempio gli insiemi $r+ZZ$ con $r in [0,1)$. È un ricoprimento aperto senza sottoricoprimenti finiti. [FALSO, non sono aperti]
Quelli non sono aperti, gli aperti sono i complementari degli insiemi finiti, quindi due aperti non vuoti si intersecano sempre (lo spazio è iperconnesso).
Ah sì scusa 
mi sono confuso. Allora se consideriamo la compattezza come T2 + quasicompattezza direi che è come dici, non è compatto perché non è T2. Però a questo punto cercherei un controesempio diverso.
mi sono confuso. Allora se consideriamo la compattezza come T2 + quasicompattezza direi che è come dici, non è compatto perché non è T2. Però a questo punto cercherei un controesempio diverso.
Essere $T_2$, ce lo mettiamo o non ce lo mettiamo come condizione per la compattezza?
Che ricordi di gioventù
Che ricordi di gioventù
Fosse per me si mette, ma se propio non si vuole mettere posso farmene una ragione.
Comunque un controesempio è il primo ordinale non numerabile con la topologia d'ordine, che non è compatto maogni funzione continua da lui in $RR$ è definitivamente costante, dunque limitata.
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