Sottosuccessioni
Non sono sicuro se la definizione di sottosuccessione di cui dispongo è la più generale possibile.
La definizione di cui parlo è la seguente. Sia $n_0\in\mathbb{N}$. sia $a:\mathbb{N}\setminus{m\in\mathbb{N}:m
Domande:
- Il dominio di $b$ deve essere per forza uguale al dominio di $a$? Non può eventualmente darsi il caso in cui il dominio di $b$ è un sottoinsieme del dominio di $a$? Ad esempio se ho $a:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{R}$ tale che $a(n)=n^2$ ottengo la sequenza $0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49\ldots$. Ebbene, la sequenza $9, 25, 49,\ldots$ (nota: manca $1$) può essere considerata una sottosuccessione di $a$ (penso di si)?
- La successione $x$ deve necessariamente essere strettamente crescente? Se ad esempio considero la successione $a$ del punto precedente e la successione $x(n)=3$ otterrei una $b(n)$ con una sequenza del tipo $9, 9, 9, 9,\ldots$. Può in questo caso $b$ essere considerata una sottosuccessione di $a$ (penso di no)?
Grazie.
La definizione di cui parlo è la seguente. Sia $n_0\in\mathbb{N}$. sia $a:\mathbb{N}\setminus{m\in\mathbb{N}:m
Domande:
- Il dominio di $b$ deve essere per forza uguale al dominio di $a$? Non può eventualmente darsi il caso in cui il dominio di $b$ è un sottoinsieme del dominio di $a$? Ad esempio se ho $a:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{R}$ tale che $a(n)=n^2$ ottengo la sequenza $0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49\ldots$. Ebbene, la sequenza $9, 25, 49,\ldots$ (nota: manca $1$) può essere considerata una sottosuccessione di $a$ (penso di si)?
- La successione $x$ deve necessariamente essere strettamente crescente? Se ad esempio considero la successione $a$ del punto precedente e la successione $x(n)=3$ otterrei una $b(n)$ con una sequenza del tipo $9, 9, 9, 9,\ldots$. Può in questo caso $b$ essere considerata una sottosuccessione di $a$ (penso di no)?
Grazie.
Risposte
Premesso che si tratta di convenzioni, io concordo con quello che hai detto (e che secondo me rispecchia l'uso che si fa di tali nozioni).
Secondo me una successione di punti ai un insieme $A$ e' una applicazione $a:{n\in NN:n\geq n_0}\to A$ (per un opportuno intero $n_0$) e una sotttosuccessione di $a$ e' data da
$a\circ\sigma$ dove $\sigma:{m\in NN:m\geq m_0}\to{n\in NN : n\geq n_0}$ strettamente crescente (per un opportuno intero $m_0$).
Secondo me una successione di punti ai un insieme $A$ e' una applicazione $a:{n\in NN:n\geq n_0}\to A$ (per un opportuno intero $n_0$) e una sotttosuccessione di $a$ e' data da
$a\circ\sigma$ dove $\sigma:{m\in NN:m\geq m_0}\to{n\in NN : n\geq n_0}$ strettamente crescente (per un opportuno intero $m_0$).
Quindi mi pare di capire che $\sigma$ (la mia $x$) debba essere per forza strettamente crescente.
Mi pare però anche di capire che se ho una successione $a:{3,4,5,\ldots}\rightarrow\mathbb{R}$ tale che $a(n)=n^2$ allora $b:{1,2,3,\ldots}\rightarrow\mathbb{R}$ tale che $b(n)=n^2$ è comunque una sottosuccessione di $a$ nonostante il dominio di $b$ contenga il dominio di $a$. In altre parole, la sequenza $1,4,9,16,25\ldots$ è una sottosuccessione di $9,16,25,\ldots$.
Mi pare infine di capire che la cosa importante sia che se una successione $a$ ammette limite, allora ogni sottosuccessione di $a$ deve ammettere lo stesso limite. E' così?
Grazie ancora.
Mi pare però anche di capire che se ho una successione $a:{3,4,5,\ldots}\rightarrow\mathbb{R}$ tale che $a(n)=n^2$ allora $b:{1,2,3,\ldots}\rightarrow\mathbb{R}$ tale che $b(n)=n^2$ è comunque una sottosuccessione di $a$ nonostante il dominio di $b$ contenga il dominio di $a$. In altre parole, la sequenza $1,4,9,16,25\ldots$ è una sottosuccessione di $9,16,25,\ldots$.
Mi pare infine di capire che la cosa importante sia che se una successione $a$ ammette limite, allora ogni sottosuccessione di $a$ deve ammettere lo stesso limite. E' così?
Grazie ancora.
"booleandomain":
Quindi mi pare di capire che $\sigma$ (la mia $x$) debba essere per forza strettamente crescente.
Sì.
"booleandomain":
Mi pare però anche di capire che se ho una successione $a:{3,4,5,\ldots}\rightarrow\mathbb{R}$ tale che $a(n)=n^2$ allora $b:{1,2,3,\ldots}\rightarrow\mathbb{R}$ tale che $b(n)=n^2$ è comunque una sottosuccessione di $a$ nonostante il dominio di $b$ contenga il dominio di $a$. In altre parole, la sequenza $1,4,9,16,25\ldots$ è una sottosuccessione di $9,16,25,\ldots$.
No.
Una sottosuccessione di $(a_n)_(n >=n_0)$ la ricavi mediante un'applicazione strettamente crescente da $NN$ sull'insieme degli indici $\{n>=n_0\}$; l'idea è quella di selezionare alcuni termini di $(a_n)$, prendendoli un'unica volta e nell'ordine in cui si presentano.
"booleandomain":
Mi pare infine di capire che la cosa importante sia che se una successione $a$ ammette limite, allora ogni sottosuccessione di $a$ deve ammettere lo stesso limite. E' così?
La condizione che citi è necessaria e sufficiente alla convergenza.
Infine, un appunto: considerare successioni definite su un insieme del tipo $\{n>= n_0\}$ non aumenta la generalità del discorso; infatti ogni insieme numerabile (ed in particolare uno del tipo $\{n>= n_0\}$) può essere messo in corrispondenza biunivoca con tutto $NN$.
Quindi, a meno di tale corrispondenza, si può ritenere che una successione sia definita in tutto $NN$.
Grazie ad entrambi, ora ho capito.
@Gugo82 -Scusami per la pedanteria che sto per esibire, ma e' piu' forte di me 
Se si definisce (come si trova sempre nei libri) successione una "applicazione da $NN$ a valori (per esempio) in $RR$" si esclude automaticamente
di pensare ad $a_n=\frac{1}{n-2}$; quando poi lo si fa o si fa finta di nulla o si dice che in realta' nelle successioni contano solo i termini per $n$ grande
e quindi.... Pero' a rigore con questa definizione $1/(n-2)$ non e' una successione.
Riguardo alle sottosuccessioni e', come dicevo una convenzione definirle, con $\sigma$ strettamente crescente, " e' un caso particolare di
"se $a_n\to L$ e $\sigma_n\to+\infty$, allora $a_{\sigma_n}\to L$ "perche', come osservavi tu, si vuole
"estrarre alcuni termini" dalla successione originaria e sarebbe viceversa curioso prenderne piu' di una volta un termine che originariamente compariva una sola volta.
Pero' il teorema che dice "se $(a_n)$ ha limite, allora ogni sua sottosuccessione ammette lo stesso limite" e' un caso particolare di
"se $a_n\to L$ e $\sigma_n\to+\infty$, allora $a_{\sigma_n}\to L$ " (dove $(\sigma_n)$ e' una successione di interi). Basta infatti osservare che una successione strettamente
crescente di interi e' necessariamente divergente. Per lo meno io vedo cosi' le cose.
Se si definisce (come si trova sempre nei libri) successione una "applicazione da $NN$ a valori (per esempio) in $RR$" si esclude automaticamente
di pensare ad $a_n=\frac{1}{n-2}$; quando poi lo si fa o si fa finta di nulla o si dice che in realta' nelle successioni contano solo i termini per $n$ grande
e quindi.... Pero' a rigore con questa definizione $1/(n-2)$ non e' una successione.
Riguardo alle sottosuccessioni e', come dicevo una convenzione definirle, con $\sigma$ strettamente crescente, " e' un caso particolare di
"se $a_n\to L$ e $\sigma_n\to+\infty$, allora $a_{\sigma_n}\to L$ "perche', come osservavi tu, si vuole
"estrarre alcuni termini" dalla successione originaria e sarebbe viceversa curioso prenderne piu' di una volta un termine che originariamente compariva una sola volta.
Pero' il teorema che dice "se $(a_n)$ ha limite, allora ogni sua sottosuccessione ammette lo stesso limite" e' un caso particolare di
"se $a_n\to L$ e $\sigma_n\to+\infty$, allora $a_{\sigma_n}\to L$ " (dove $(\sigma_n)$ e' una successione di interi). Basta infatti osservare che una successione strettamente
crescente di interi e' necessariamente divergente. Per lo meno io vedo cosi' le cose.
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