Sottosuccessione di sottosuccessione

[Sk_Anonymous]

Buonasera a tutti. Siamo agli sgoccioli e, di una lunga serie di esercizi proposti dal professore (più di cinquanta), ce ne sono ancora due o tre che non riesco a risolvere interamente.
Il seguente, per esempio, mi lascia ancora perplesso:

Data una successione reale \(\displaystyle (a_{n})_{n \in \mathbb{N}} \), sono equivalenti le seguenti due affermazioni:
(A) La successione \(\displaystyle (a_{n})_{n \in \mathbb{N}} \) converge (ad un limite finito);
(B) Esiste un numero \(\displaystyle L \in \mathbb{R} \) con questa proprietà: ogni sottosuccessione di \(\displaystyle (a_{n})_{n \in \mathbb{N}} \) ha un'ulteriore sottosuccessione che converge ad \(\displaystyle L \).

Non ci sono problemi per la prima implicazione; se infatti una successione converge ad \(\displaystyle L \), ogni sua sottosuccessione converge ad \(\displaystyle L \). Ne segue che anche una sottosuccessione di una qualsiasi sottosuccessione converge ad \(\displaystyle L \) (e visto che su \(\displaystyle L \) non ci sono vincoli, posso porre appunto \(\displaystyle L=\lim_{n \to \infty} a_{n} \)).
Quanto all'implicazione opposta, non sono convinto: se ogni sottosuccessione della successione di partenza ammette un'ulteriore sottosuccessione convergente, potrei al massimo, e sottolineo al massimo, concludere che le sottosuccessioni della successione di partenza sono limitate... Ma quanto alla convergenza? Cosa (e come lo) posso dire?

Grazie in anticipo.

[dissonance]

Questo si chiama certe volte il lemma delle sotto-estratte. Chiaramente è (B) implica (A) la cosa sostanziale, ed è pure sorprendentemente utile in analisi. Procedi per assurdo. Sfrutta il fatto che \(L\) è uguale per tutte le sottoestratte. Se per assurdo non fosse verificata la definizione di limite, allora esisterebbe una estratta tale che ... e però per ipotesi esiste una sottoestratta tale che ... e questa è una contraddizione.

Ti resta solo da riempire gli spazi segnati con il puntino.

[girdav]

Se $a_n$ non convere verso $L$, allora si può trovare $\delta>0$ e un insieme $A\subset\mathbb N$ infinito tale che $|a_n-L|\geq\delta$ per ogni $n\in A$. Denotiamo $A=\{n_k,k\in\mathbb N\}$ con $n_k

Cita

Segnala

[Sk_Anonymous]

Ho ignorato per un attimo il suggerimento di girdav (che comunque ringrazio).
Vediamo se ho ben ragionato: supponiamo che \(\displaystyle (a_{n})_{n \in \mathbb{N}} \) non converga ad \(\displaystyle \mbox{L} \). Allora la definizione di limite non è verificata per tutti gli \(\displaystyle \epsilon \), e quindi esisteranno dei valori \(\displaystyle \delta \) tali che \(\displaystyle |a_{n} - L|>\delta \) (quando \(\displaystyle n \to \infty \)) ( - per concisione mi è parso preferibile trattare il caso in cui la successione converge ad un valore finito diverso da \(\displaystyle \mbox{L} \). Se infatti divergesse oppure non convergesse, il castello di carte cadrebbe ancor prima). Siccome una sottosuccessione estratta non è che una "scelta indicizzata" di elementi della successione di partenza, esisterà un valore \(\displaystyle \overline{n} \) (forse diverso per ogni estratta, ma è sicuro che esista) t. c. \(\displaystyle \forall n \ge \overline{n} \), \(\displaystyle |a_{n_{i}} - L|> \delta \) (questi qui a sinistra non sono necessariamente i \(\displaystyle \delta \) di prima). Ne segue la tesi per conflitto con le ipotesi (tutte le estratte non convergenti ad \(\displaystyle L \) non possono ammettere sottoestratte convergenti ad \(\displaystyle L \)).

Così credo che possa funzionare. Attendo comunque eventuali correzioni.

[dissonance]

Si, più o meno è così ma fai un po' troppo fumo. Mettiamola più sul semplice. Se non è verificata la definizione di limite, esiste un \(\varepsilon > 0\) e una sottosuccessione \(a_{n_k}\) tali che \(\lvert a_{n_k} - L \rvert > \varepsilon\) per ogni \(k\). Giusto? Pensaci un attimo e vedi che ciò segue subito dalla negazione della definizione di limite. Dopodiché concludi in un lampo.

[Sk_Anonymous]

Ok, quindi se esiste una sottosuccessione che non converge ad \(\displaystyle L \) (e ne basta una), allora anche tutte le sue sottoestratte non convergono ad \(\displaystyle L \) (l'ultima affermazione segue dalla proposizione: una successione converge ad \(\displaystyle l \) se e solo se tutte le sue sottosuccessioni convergono ad \(\displaystyle l \)).

Ringrazio di nuovo.

[DajeForte]

Ciao Delirium, quello che dici qua non è corretto:

"Delirium":Ok, quindi se esiste una sottosuccessione che non converge ad \(\displaystyle L \) (e ne basta una), allora anche tutte le sue sottoestratte non convergono ad \(\displaystyle L \) (l'ultima affermazione segue dalla proposizione: una successione converge ad \(\displaystyle l \) se e solo se tutte le sue sottosuccessioni convergono ad \(\displaystyle l \)).

La proposizione che dici è giusta ma non implica quello che dici. Infatti se una (sotto)successione non converge ad L, non è detto che anche tutte le sotto(sotto)successioni non convergano ad L.

[Sk_Anonymous]

Oh caspita, che sciocco. Ultimamente sto dando un po' i numeri.
Allora ho un buco... Come posso concludere bene?

[DajeForte]

"dissonance":esiste un \(\varepsilon > 0\) e una sottosuccessione \(a_{n_k}\) tali che \(\lvert a_{n_k} - L \rvert > \varepsilon\) per ogni \(k\)

Per costruzione, ogni elemento della sottosuccessione dista almeno $varepsilon$ da L, dunque qualsiasi estratta sarà formata da elementi con la stessa caratteristica e dunque non potrà convergere ad L.

Detto in soldoni quello che importa non è la sua non convergenza ad L ma il fatto che è lontana da L.

[Sk_Anonymous]

Buono, grazie. Chiedo di nuovo scusa per l'errore, ma quando sono fuso e sotto pressione dico scemenze. In questo periodo poi, figuriamoci.