Sottosuccessione di somma parziale di una serie
Salve a tutti,
avrei una domanda sulle serie. La serie in questione è la seguente
$\sum_{n=1}^infty ln(1+1/n^3)$.
E' abbastanza facile verificare che converge tramite il confronto asintotico con $1/n^3$.
Io però ho avuto un'altra idea, che non funziona, e vorrei sapere perchè, o meglio se ho capito bene perchè non funziona.
Scrivo $a_n=ln((n^3+1)/(n^3))=ln(n^3+1)-ln(n^3)$, la quale assomiglia ad una serie telescopica. Dico assomiglia perchè ci vorrebbe $n+1$ e non $n^3+1$. Noto che però quello che sto facendo è scrivere una sottosuccessione della successione delle somme parziali di $a_n=ln(1+1/n)$, la quale diverge come una serie telescopica divergente. Ho pensato dunque che se quella successione diverge, lo dovrà fare anche sommando per tutti i cubi anzichè per tutti gli n (ogni sottosuccessione di una successione divergente è divergente).
Forse però viene alterato il carattere della serie perchè sto togliendo infiniti termini dalla successione delle somme parziali (tutti quelli che non sono cubi), sebbene stiano rimanendo comunque infiniti termini (tutti i cubi). Infatti il carattere della serie non cambia solo se tolgo un numero finito di termini.
E' questo il motivo per cui il risultato è diverso o ci sono altri difetti tra le varie considerazioni?
avrei una domanda sulle serie. La serie in questione è la seguente
$\sum_{n=1}^infty ln(1+1/n^3)$.
E' abbastanza facile verificare che converge tramite il confronto asintotico con $1/n^3$.
Io però ho avuto un'altra idea, che non funziona, e vorrei sapere perchè, o meglio se ho capito bene perchè non funziona.
Scrivo $a_n=ln((n^3+1)/(n^3))=ln(n^3+1)-ln(n^3)$, la quale assomiglia ad una serie telescopica. Dico assomiglia perchè ci vorrebbe $n+1$ e non $n^3+1$. Noto che però quello che sto facendo è scrivere una sottosuccessione della successione delle somme parziali di $a_n=ln(1+1/n)$, la quale diverge come una serie telescopica divergente. Ho pensato dunque che se quella successione diverge, lo dovrà fare anche sommando per tutti i cubi anzichè per tutti gli n (ogni sottosuccessione di una successione divergente è divergente).
Forse però viene alterato il carattere della serie perchè sto togliendo infiniti termini dalla successione delle somme parziali (tutti quelli che non sono cubi), sebbene stiano rimanendo comunque infiniti termini (tutti i cubi). Infatti il carattere della serie non cambia solo se tolgo un numero finito di termini.
E' questo il motivo per cui il risultato è diverso o ci sono altri difetti tra le varie considerazioni?
Risposte
Non è vero. Non stai scrivendo una sottosuccessione di quella roba lì.
Fai il conto e renditene conto.
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