Sottospazi vettoriali non chiusi e ortogonalità
Studiando gli spazi di Hilbert oggi ho scoperto con grande sorpresa che l uguaglianza
V=V^ ^,
(dove per ^ intendo lo spazio ortogonale)
vale solo nel caso in cui V sia sottospazio chiuso di uno spazio di Hilbert.
Dunque in $RR^n$ sappiamo che non c è problema perchè un sottospazio è sempre chiuso, ma nella dimostrazione dell uguaglianza viene usata la scomposizione di un vettore su uno spazio e il suo ortogonale, cosa che è garantita solo in presenza di un sottospazio chiuso (dato un vettore e un sottospazio chiuso convesso esiste il punto nello spazio che minimizza la distanza).
Ora però non riesco a trovare un controesempio reale, o meglio, sapreste descrivermi un sottospazio V non chiuso in uno spazio di Hilbert tale che V sia strettamente incluso in V^^, e magari mostrando perchè non è possibile applicare la scomposizione usuale?
Grazie.
V=V^ ^,
(dove per ^ intendo lo spazio ortogonale)
vale solo nel caso in cui V sia sottospazio chiuso di uno spazio di Hilbert.
Dunque in $RR^n$ sappiamo che non c è problema perchè un sottospazio è sempre chiuso, ma nella dimostrazione dell uguaglianza viene usata la scomposizione di un vettore su uno spazio e il suo ortogonale, cosa che è garantita solo in presenza di un sottospazio chiuso (dato un vettore e un sottospazio chiuso convesso esiste il punto nello spazio che minimizza la distanza).
Ora però non riesco a trovare un controesempio reale, o meglio, sapreste descrivermi un sottospazio V non chiuso in uno spazio di Hilbert tale che V sia strettamente incluso in V^^, e magari mostrando perchè non è possibile applicare la scomposizione usuale?
Grazie.
Risposte
Facile.
Prendi \(H=\ell^2\) (lo spazio delle successioni a quadrato sommabile) e \(V=c_{00}\) (lo spazio delle successioni definitivamente nulle).
Chiaramente \(c_{00}\) è un sottospazio di \(\ell^2\), ma non è chiuso perchè esso è denso in \(\ell^2\) (si dimostra facilmente).
D'altra parte è semplicissimo provare che \((c_{00})^\bot = \{o\}\), quindi \( ((c_{00})^\bot )^\bot =\{o\}^\bot=\ell^2 \supset c_{00}\).
Prendi \(H=\ell^2\) (lo spazio delle successioni a quadrato sommabile) e \(V=c_{00}\) (lo spazio delle successioni definitivamente nulle).
Chiaramente \(c_{00}\) è un sottospazio di \(\ell^2\), ma non è chiuso perchè esso è denso in \(\ell^2\) (si dimostra facilmente).
D'altra parte è semplicissimo provare che \((c_{00})^\bot = \{o\}\), quindi \( ((c_{00})^\bot )^\bot =\{o\}^\bot=\ell^2 \supset c_{00}\).
Capisco, non so se il mio esempio andava bene perchè io stavo pensando come spazio di Hilber $L^2$, come sottospazio che non mi pare chiuso l insieme delle funzioni liscie positive pari a supporto compatto, ma poi non riuscivo a metterci il controesempio dell ortogonale... andava bene?
Non complicarti troppo la vita, stai sulle cose semplici. 
Basta prendere \(H=L^2\) e \(V=C_c\) e fare lo stesso ragionamento di sopra... Infatti \(C_c\) ha in \(L^2\) le stesse proprietà di \(c_{00}\) in \(\ell^2\).
Basta prendere \(H=L^2\) e \(V=C_c\) e fare lo stesso ragionamento di sopra... Infatti \(C_c\) ha in \(L^2\) le stesse proprietà di \(c_{00}\) in \(\ell^2\).
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