Sottospazi vettoriali
Ciao,
è giusta questa affermazione:
Se l'intersezione di due sottospazi U e W di V è uguale a zero allora una base dell'insieme intersezione si può ottenere con
l'unione delle basi U,W. Se invece l'intersezione non è nulla l'unione delle basi U e W, anche se genera tutto U+W, non è una base in quanto ha sicuramente vettori linearmente dipendenti.
GRAZIE.......
è giusta questa affermazione:
Se l'intersezione di due sottospazi U e W di V è uguale a zero allora una base dell'insieme intersezione si può ottenere con
l'unione delle basi U,W. Se invece l'intersezione non è nulla l'unione delle basi U e W, anche se genera tutto U+W, non è una base in quanto ha sicuramente vettori linearmente dipendenti.
GRAZIE.......
Risposte
Non ha senso dire che l'intersezione di due spazi vettoriali sia zero, casomai l'intersezione può coincidere con lo spazio nullo, e in questo caso uan base dello spazio intersezione sarebbe l'insieme vuoto. In questo caso la base di $U+W$ sarebbe l'unione delle due basi.
Se invece l'intersezione non coincide con lo spazio nullo, allora è come hai detto: dette $E_1$ una base di $U$, e $E_2$ uan base di $W$, allora una base di $U+W$ sarà un sottoinsieme proprio di $E_1 \cup E_2$, massimale rispetto alla proprietà di essere indipendente.
Se invece l'intersezione non coincide con lo spazio nullo, allora è come hai detto: dette $E_1$ una base di $U$, e $E_2$ uan base di $W$, allora una base di $U+W$ sarà un sottoinsieme proprio di $E_1 \cup E_2$, massimale rispetto alla proprietà di essere indipendente.
In realtà è un linguaggio usato e corretto, a me pare che abbia senso; dire che l'intersezione è $0$ non significa che è l'insieme vuoto, ma che è lo spazio vettoriale nullo, ovvero generato dal vettore nullo, cioè il vettore nullo stesso.
. 
Ok, pensavo non si potesse.
Comunque una base dello spazio nullo è l'insieme vuoto.
Mah, così su due piedi non mi convince.... l'insieme vuoto non genera nulla... mentre lo spazio vettoriale nullo ha un elemento.
La cardinalità dell'insieme vuoto è zero, infatti la dimensione dello spazio nullo è zero.
Se $O$ è il vettore nullo, allora l'insieme $A=\{O\}$ non può essere una base di niente, in quanto $A$ sarebbe un insieme dipendente, mentre, per definizione, una base è un insieme indipendente (per la precisione è un insieme generante minimale e indipendente massimale).
Se $O$ è il vettore nullo, allora l'insieme $A=\{O\}$ non può essere una base di niente, in quanto $A$ sarebbe un insieme dipendente, mentre, per definizione, una base è un insieme indipendente (per la precisione è un insieme generante minimale e indipendente massimale).
"Luca.Lussardi":
Mah, così su due piedi non mi convince.... l'insieme vuoto non genera nulla... mentre lo spazio vettoriale nullo ha un elemento.
veramente l'insieme vuoto genera proprio il sottospazio nullo...
infatti ogni parte $S$ di uno spazio vettoriale $V$ genera un sottospazio di $V$: precisamente l'intersezione
dei sottospazi di $V$ che contengono $S$
Sì, ma se $S$ è vuoto allora non è l'intersezione di sottospazi, perchè l'intersezione di sottospazi non è mai vuota.
Credo che sia una questione di convenzione per far tornare qualche formula di dimensioni ecc...
Credo che sia una questione di convenzione per far tornare qualche formula di dimensioni ecc...
Tempo fa avevo un dubbio su questo argomento,e mi è stato risolto qui https://www.matematicamente.it/f/viewtopic.php?t=14562
"Luca.Lussardi":
Sì, ma se $S$ è vuoto allora non è l'intersezione di sottospazi, perchè l'intersezione di sottospazi non è mai vuota.
Scusa se mi permetto, ma questa osservazione non e' pertinente: infatti non c'e' bisogno che $S$ sia intersezione di sottospazi.
Dunque come sai l'intersezione di una famiglia non vuota di sottospazi di $V$ e' un sottospazio; se ora
consideriamo la famiglia di tutti i sottospazi che contengono $S$, questa e' non vuota (perche' almeno
$V$ vi appartiene), e quindi la sua intersezione e' un sottospazio, che chiamiamo il sottospazio generato da $S$.
Adesso se $S$ e' vuoto, e' contenuto in tutti i sottospazi di $V$; ma chi e' l'intersezione della famiglia
di tutti i sottospazi di $V$? Ovviamente, il sottospazio nullo.
Sì, sono d'accordo con te che gira giusta la cosa. Questo perchè vedi la generazione a partire da un insieme qualunque che potrebbe anche essere vuoto. Come al solito quando si trattano queste proprietà con l'insieme vuoto, di solito sono messe quasi apposta per far tornare le cose.
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